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tigou

木虫 (正式写手)

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[交流] 悬赏一千元人民币征集证明或反例已有22人参与

称实数集上的四则运算及指数运算、对数运算为二级运算，由若干常数和一个未知数经有限次二级运算合成的能用一个公式表示（排除分段函数）的函数，称作二级函数。
例如，f(x)=(e^x+x^2)/(lnx-3x)是二级函数，sinx不是二级函数。
猜想：设实二级函数f(x)在点集E上有定义，E0是f在E上的零点集，E1=E-E0，则sup E不能既是E0的聚点又是E1的聚点。
感觉这个猜想有可能成为世界级难题。为此，我愿拿出一千元人民币征集该猜想的证明，找到反例也算证明成功，悬赏期限为我的有生之年。

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yrgdy

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0/0的意义是所有数的集合

1楼 2015-05-28 16:21:37

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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引用回帖:

29楼: Originally posted by tigou at 2015-05-30 12:23:21
虽然没完全明白sard定理的细节，但可以肯定，从这个定理出发证明不了二级函数猜想。根据sard定理，最多能得到这样的结论：实二级函数的非平凡零点集的勒贝格测度为零。而二级函数猜想要求非平凡零点是有限的。

...

你这问题自然是很难的，至少我一点头绪都没有。我最困惑的一点是：实二级函数与复二级函数的分界点在哪里？

1。（9楼）楼主举的非显然零点例子错的离谱， $(-1)^x=e^{\pi i x}$ 是标准的复变函数，你关心的却自始至终都是实函数。

2。(4楼) 你的命题等价于实二级函数零点最多只有有限个。
因为无限个零点，要么f(x)的零点有聚点，要么f(1/x)的零点有聚点。而E就取以聚点为右端点的任意一个闭区间即有矛盾。

3.（24楼）Sard定理牵涉到零测集，而你只关心零点个数，二者风马牛不相及。

4.（8楼）利用 $\sin{x}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ 最多只能说明它存在一个复二级函数表达式而已。我无法证明， sin(x) 不存在一个实二级函数表达式。

5.（27楼）级数展开没什么用，关键是对应的函数是否是（实！！！）二级函数。大家可以比较Sin(x)与 Sech(x) 的级数展开式。更有名的例子是 $\Gamma(z)$ , 如何知道它不是实二级函数呢？它也有无穷多个实数零点。

6.不难想象，如果某个实二级函数有无穷个零点，那么它的任意阶导数也有无穷个零点。所以，周期函数一定不能是实二级函数。

7.你的二级函数在定义域内可以取复变量z得到一个局部解析函数，可惜基本上无法解析开拓到全平面成为亚纯函数，因此亚纯函数的Weierstrass零点展开式用不上。

恩，该休息了。楼主加油。