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我要飞

铁虫 (正式写手)

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[求助] 如何得到通项公式？已有1人参与

已知： $f_1=1,f_2=\frac{x-2}{2x},f_3=\frac{2x^2-6x+3}{6x^2}$
$f_4=\frac{3x^3-11x^2+9x-2}{12x^3}$ ,
则 $f_n$ 的表达式是多少？

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1楼 2015-05-15 16:23:21

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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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【答案】应助回帖

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设

$f_1=1=a$

$f_2=\frac{x-2}{2x}=b$

$f_3=\frac{2x^2-6x+3}{6x^2}=c$

$f_4=\frac{3x^3-11x^2+9x-2}{12x^3}=d$

用待定系数法计算 $f_n=?$
令 $f_n=An^3+Bn^2+Cn+D+(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)g(n)$ ，其中A，B，C，D是待定系数，g(n)是关于n的任意函数，则有：

$\left\{\begin{array}{l}A+B+C+D=a\\8A+4B+2C+D=b\\27A+9B+3C+D=c\\64A+16B+4C+D=d\end{array}\right.$

解此四元一次方程组就得到：

$\left\{\begin{array}{l}A=\frac{1}{6}(d+3b-3c-a)\\B=\frac{1}{2}(7c+3a-8b-2d)\\C=\frac{1}{6}(11d+57b-42c-26a)\\D=4a-6b+4c-d\end{array}\right.$

将上述解得的A，B，C，D代入 $f_n=An^3+Bn^2+Cn+D+(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)g(n)$ 就得到所要求的通项公式。

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

5楼2015-05-16 03:51:12

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feixiaolin

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项数太少
fn={(n-1)*x^(n-1)-[2+4*(n-2)]*x^(n-2)+3^(n-2)*x^(n-3)-2^(n-4)*x^(n-4)}/[n*(n-1)*x^(n-1)]

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2楼2015-05-15 17:05:55

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我要飞

铁虫 (正式写手)

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2楼: Originally posted by feixiaolin at 2015-05-15 17:05:55
项数太少
fn={(n-1)*x^(n-1)-*x^(n-2)+3^(n-2)*x^(n-3)-2^(n-4)*x^(n-4)}/

检验了一下，好像不对呀

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3楼2015-05-15 18:17:13

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feixiaolin

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3楼: Originally posted by 我要飞 at 2015-05-15 18:17:13
检验了一下，好像不对呀...

没写客完，项数太少。

[ 发自小木虫客户端 ]

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4楼2015-05-15 18:39:35

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