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xc79522铜虫 (初入文坛)
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[求助]
(阶乘)数列求和
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翻看了一下坛子里的相关内容，觉得应该是发在这里最合适了。要是这里不合适，请大家告知我一下。 我在对一化学过程数学建模时，得到一数学关系，是一数列，其中各项表达如下： 其中：
求：在i趋于无穷大时，此数列的和，即： -----------------------------------分割线----------------------------------- 目前，我自己做了下面的尝试，把此数列中各项都用 如果这样没错的话，则得到 恳请大家的帮助！非常感谢先！ [ Last edited by xc79522 on 2013-8-30 at 11:23 ] |
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2楼2013-08-30 21:29:22
xc79522
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【答案】应助回帖
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xc79522: 金币+5, ★★★很有帮助, 非常感谢！ 2013-09-24 14:10:10
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让c=a/b, 简化一点点. 先看分母上的连乘积. Prod_{k=1}^ infty ( 1+c*k^(-7/6) )的收敛性. 正项连乘级数的收敛性等价于相应的对数连和级数收敛性. Log ( Prod_{k=1}^ infty ( 1+c*k^(-7/6) ) ) = Sum_{k=1}^Infty Log(( 1+c*k^(-7/6) ) ) ) 由于 Log(1+x) ~ x 当x在零点附近, 所以 求和级数大致为 c* Sum_{k=1}^Infty k^(-7/6) . 这是一个标准的收敛级数, 且级数和不为零. 因此Prod_{k=1}^ infty ( 1+c*k^(-7/6) )=d >0. 某个正数d. 再看楼主推导出的通项公式, 分子上的连乘是可以互相抵消的, 只剩下 (1/k)^{2/3}. 也就是说, 大体上 x_k ~ k^{-2/3} * d * x_0. 这个级数是个标准的发散级数. 楼主还是专心找部分求和 (有意义的截段)数值解吧. 附录: 级数 Sum_{n=1}^{infty} 1/ n^a 收敛, 当 a>1. 发散, 当 0<a<=1. |
6楼2013-08-31 00:48:34
hank612
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搂主, 我用Matlab作了一下图, 发现序列和很有规律. 你用Log 或者 x^k (k<1) 试试拟合吧. 附源程序. 参数可以调整. X(k)是趋于零的,我没画. Y(K)是分母部分, 可以看出是收敛的. clear all N=1000; X=zeros(1,N); S=zeros(1,N); Y=zeros(1,N); X(1)=5; S(1)=X(1); Y(1)=X(1); c=2/3; for k=2:N X(k)=((k-1)/k)^(2/3)*X(k-1)/(1+c*k^(-7/6)); S(k)= S(k-1)+X(k); Y(k)=k^(2/3)*X(k); end plot ( 1:N, Y(1:N), 'r', 1:N, S(1:N),'b*')  series.jpg |
7楼2013-08-31 04:07:34
xc79522
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8楼2013-09-24 14:10:45
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