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X.J.Cai

木虫 (正式写手)

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[求助] 请教一下，最后一个公式是怎么推导出来的，谢谢！

$\frac{\partial}{\partial t}\hat{P}\hat{\rho}^{I}(t|\xi(t))=\alpha\hat{P}\hat{L}_{\xi}^{I}(t)\hat{P}\hat{\rho}^{I}(t|\xi(t))+\alpha^{2}\int_{0}^{t}dt'\hat{P}\hat{L}_{\xi}^{I}(t)g(t,t')\hat{Q}\hat{L}_{\xi}^{I}(t')\hat{P}\hat{\rho}^{I}(t'|\xi(t')).$
Expanding the propagator $g(t,t')$ in powers of $\alpha$
$g(t,t')=&1+\alpha\int_{t'}^{t}dt_{1}\hat{Q}\hat{L}_{\xi}^{I}(t_{1})+\alpha^{2}\int_{t'}^{t}dt_{1}\int_{t'}^{t}dt_{2}\hat{Q}\hat{L}_{\xi}^{I}(t_{1})\hat{Q}\hat{L}_{\xi}^{I}(t_{2})+\cdot\cdot\cdot\\=&1+\sum_{n=1}^{\infty}\alpha^{n}g_{n}(t,t')$
where
$g_{n}(t,t')=\int_{t'}^{t}dt_{1}\int_{t'}^{t}dt_{2}\cdot\cdot\cdot\int_{t'}^{t}dt_{n}\hat{Q}\hat{L}_{\xi}^{I}(t_{1})\hat{Q}\hat{L}_{\xi}^{I}(t_{2})\cdot\cdot\cdot\hat{Q}\hat{L}_{\xi}^{I}(t_{n})$
then
$\alpha^{2}\int_{0}^{t}dt'\hat{P}\hat{L}_{\xi}^{I}(t)g(t,t')\hat{Q}\hat{L}_{\xi}^{I}(t')\hat{P}\hat{\rho}^{I}(t'|\xi(t'))=\sum_{n=2}\alpha^{n}\int_{0}^{t}dt'\hat{P}\hat{L}_{\xi}^{I}(t)g_{n-2}(t,t')\hat{Q}\hat{L}_{\xi}^{I}(t')\hat{P}\hat{\rho}^{I}(t'|\xi(t'))$

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1楼 2015-04-01 10:38:40

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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feixiaolin: 金币+20 2015-04-28 18:00:48

貌似最后一步没有做任何推导啊

默认 $g_0(t,t')=1$

$a^2\dot g(t,t')=a^2(1+\sum_{n=1}^{\infty}a^n g_n(t,t'))=\sum_{m=2}^{\infty} a^m g_{m-2}(t,t')$

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We_must_know. We_will_know.

2楼2015-04-02 05:47:31

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