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only_13bi

新虫 (初入文坛)

[求助] 关于矩阵秩的问题 已有1人参与

已知AA=A,rank(A)=n-1,证明rank(A*-E)=n-1.(A*是A的伴随矩阵)

n=R(E)<=R(E-A*)+R(A*)  
R(A*-E)=R(E-A*)>=n-1,
另外一侧不会构造了, 望指教.
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catbin

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与,应助指数 +1
only_13bi(feixiaolin代发): 金币+5 2014-10-22 17:30:01
首先,你要证明的应该是rank(A*-E)=1而不是n-1。

证明见附件,我用I来表示单位阵。
关于矩阵秩的问题
Derivations.png

静水流深
2楼2014-10-19 06:21:55
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only_13bi

新虫 (初入文坛)

引用回帖:
2楼: Originally posted by catbin at 2014-10-19 06:21:55
首先,你要证明的应该是rank(A*-E)=1而不是n-1。

证明见附件,我用I来表示单位阵。

Derivations.png

rank(A-I)=rank(A*-I)这是为什么?
如果rank(A*-I)=1,那么
n=R(E)<=R(E-A*)+R(A*)  
R(A*-E)=R(E-A*)>=n-1,哪里错了.
3楼2014-10-19 13:18:27
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catbin

银虫 (小有名气)

引用回帖:
3楼: Originally posted by only_13bi at 2014-10-19 13:18:27
rank(A-I)=rank(A*-I)这是为什么?
如果rank(A*-I)=1,那么
n=R(E)<=R(E-A*)+R(A*)  
R(A*-E)=R(E-A*)>=n-1,哪里错了....

rank(A-I)=rank(A*-I)因为 (A-I)*=A*-I

n=R(I)<=R(I-A*)+R(A*)=R(I-A*)+n-1
所以R(I-A*)>=1
静水流深
4楼2014-10-19 13:27:41
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only_13bi

新虫 (初入文坛)

引用回帖:
4楼: Originally posted by catbin at 2014-10-19 13:27:41
rank(A-I)=rank(A*-I)因为 (A-I)*=A*-I

n=R(I)<=R(I-A*)+R(A*)=R(I-A*)+n-1
所以R(I-A*)>=1...

rank(A)=n-1,rank(A*)=1的,
5楼2014-10-19 13:29:31
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only_13bi

新虫 (初入文坛)

引用回帖:
5楼: Originally posted by only_13bi at 2014-10-19 13:29:31
rank(A)=n-1,rank(A*)=1的,...

你可以理解错了,A*是伴随矩阵 不是转置
6楼2014-10-19 13:32:43
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catbin

银虫 (小有名气)

引用回帖:
6楼: Originally posted by only_13bi at 2014-10-19 13:32:43
你可以理解错了,A*是伴随矩阵 不是转置...

啊,好吧,我理解错了。

数学里一般用^\top为转置,^*为共轭转置,adj(A)为adjoint。

我前面推出的是rank(A-I)=1。
静水流深
7楼2014-10-19 13:47:14
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only_13bi

新虫 (初入文坛)

引用回帖:
7楼: Originally posted by catbin at 2014-10-19 13:47:14
啊,好吧,我理解错了。

数学里一般用^\top为转置,^*为共轭转置,adj(A)为adjoint。

我前面推出的是rank(A-I)=1。...

受教,蛮谢谢你,
8楼2014-10-19 15:54:27
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