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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 关于矩阵秩的问题
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only_13bi

新虫 (初入文坛)

[求助] 关于矩阵秩的问题 已有1人参与

已知AA=A,rank（A）=n-1，证明rank（A*-E）=n-1.（A*是A的伴随矩阵）

n=R（E)<=R(E-A*)+R(A*)  
R（A*-E）=R(E-A*)>=n-1,
另外一侧不会构造了， 望指教.
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1楼 2014-10-18 20:53:01
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catbin

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
only_13bi(feixiaolin代发): 金币+5 2014-10-22 17:30:01
首先，你要证明的应该是rank(A*-E)=1而不是n-1。

证明见附件，我用I来表示单位阵。
关于矩阵秩的问题
Derivations.png
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静水流深
2楼2014-10-19 06:21:55
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only_13bi

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by catbin at 2014-10-19 06:21:55
首先，你要证明的应该是rank(A*-E)=1而不是n-1。

证明见附件，我用I来表示单位阵。

Derivations.png

rank(A-I)=rank(A*-I）这是为什么？
如果rank(A*-I）=1，那么
n=R（E)<=R(E-A*)+R(A*)  
R（A*-E）=R(E-A*)>=n-1,哪里错了.
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3楼2014-10-19 13:18:27
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catbin

银虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by only_13bi at 2014-10-19 13:18:27
rank(A-I)=rank(A*-I）这是为什么？
如果rank(A*-I）=1，那么
n=R（E)<=R(E-A*)+R(A*)  
R（A*-E）=R(E-A*)>=n-1,哪里错了....

rank(A-I)=rank(A*-I)因为 (A-I)*=A*-I

n=R(I)<=R(I-A*)+R(A*)=R(I-A*)+n-1
所以R(I-A*)>=1
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静水流深
4楼2014-10-19 13:27:41
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only_13bi

新虫 (初入文坛)
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4楼: Originally posted by catbin at 2014-10-19 13:27:41
rank(A-I)=rank(A*-I)因为 (A-I)*=A*-I

n=R(I)<=R(I-A*)+R(A*)=R(I-A*)+n-1
所以R(I-A*)>=1...

rank(A)=n-1，rank（A*）=1的，
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5楼2014-10-19 13:29:31
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only_13bi

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by only_13bi at 2014-10-19 13:29:31
rank(A)=n-1，rank（A*）=1的，...

你可以理解错了，A*是伴随矩阵 不是转置
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6楼2014-10-19 13:32:43
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catbin

银虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by only_13bi at 2014-10-19 13:32:43
你可以理解错了，A*是伴随矩阵 不是转置...

啊，好吧，我理解错了。

数学里一般用^\top为转置，^*为共轭转置，adj(A)为adjoint。

我前面推出的是rank(A-I)=1。
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静水流深
7楼2014-10-19 13:47:14
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only_13bi

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
7楼: Originally posted by catbin at 2014-10-19 13:47:14
啊，好吧，我理解错了。

数学里一般用^\top为转置，^*为共轭转置，adj(A)为adjoint。

我前面推出的是rank(A-I)=1。...

受教，蛮谢谢你，
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8楼2014-10-19 15:54:27
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