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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 矩阵秩的问题，急
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shy1992331

新虫 (小有名气)

[交流] 矩阵秩的问题，急已有5人参与

n阶矩阵A满足A^2=I证明对任意正整数s,k有rank[(I-A)^s]+rank[(I+A)^k]=n

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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1楼2012-12-18 09:10:31
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xuebajueqi

铁虫 (小有名气)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
以前老师帮我们证明过，参考书上应该有的，那个复习全书
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一切皆有可能
2楼2012-12-18 09:37:54
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soliton923

铁杆木虫 (职业作家)

数学村村长
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
根据题意A是可以对角化的~~你应该可以做出来了 并且对角元是1 or -1
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soliton;sato-theory;algebre-geometry；Random-Matrices-Theory; Riemann-Hilbert method
3楼2012-12-18 10:55:20
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sishijing

新虫 (小有名气)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
同学，有木有发现啊，（I+A）^2=2(I+A), (I-A)^2=2(I-A)。以此类推下去，(I+A)^k=2^k*(I+A), (I-A)^s=2^s*(I-A). 因而，Rank((I-A)^s)=Rank(I-A),Rank((I+A)^k)=Rank(I+A). 而 Rank(I-A)+Rank(I+A)=n,(这个就很容易了)。
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4楼2012-12-18 13:05:35
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webbery

金虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
接3楼，证明r(I-A)+r(I+A)=n
因为A^2=I, 所以A^2-I=(A-I)(A+I)=0
进而r(A-I)+r(A+I)<=n.
因为r(A-I)+r(A+I)>=r(A-I-(A+I))=r(-2I)=n
综上得, r(A-I)+r(A+I)=n.
全部得证

注意A是可以对角化为1和-1的对角阵
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5楼2012-12-18 18:49:46
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shy1992331

新虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by webbery at 2012-12-18 18:49:46
接3楼，证明r(I-A)+r(I+A)=n
因为A^2=I, 所以A^2-I=(A-I)(A+I)=0
进而r(A-I)+r(A+I)<=n.
因为r(A-I)+r(A+I)>=r(A-I-(A+I))=r(-2I)=n
综上得, r(A-I)+r(A+I)=n.
全部得证

注意A是可以对角化为1和-1的对

谢啦
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6楼2012-12-22 23:02:40
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shy1992331

新虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by sishijing at 2012-12-18 13:05:35
同学，有木有发现啊，（I+A）^2=2(I+A), (I-A)^2=2(I-A)。以此类推下去，(I+A)^k=2^k*(I+A), (I-A)^s=2^s*(I-A). 因而，Rank((I-A)^s)=Rank(I-A),Rank((I+A)^k)=Rank(I+A). 而 Rank(I-A)+Rank(I+A)=n,(这个就很容易 ...

谢啦
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7楼2012-12-22 23:02:49
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zhao989
谢谢分享！
8楼2013-01-06 16:10:38
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