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lixuemei201

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[求助] 线性相关问题已有1人参与

把实数域R看成有理数域Q上的线性空间，b=p^3*q^2*r, p.q.r 是互不相同的素数，判断向量组1,b^（1/n），b^（2/n）, .....,b^（（n-1）/n）是否线性相关. 答案是线性无关，怎么证明。。想不到

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1楼 2014-10-14 20:51:00

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hank612

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
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lixuemei201: 金币+5, ★★★很有帮助, 谢谢 2014-10-15 15:21:39

你用http://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein%27s_criterion
Eisenstein不可约判定法则, 很容易看出 f(x)=x^n-p^3*q^2*r是有理数域上不可约多项式 (因为r是素数, p,q与r互素).

考虑元素 a=b^{1/n}, 那么a在Q上的极小多项式就是f(x), 次数就是n, 即域扩张Q[a]/Q次数为n.

显然你列的向量组可以张成整个Q[a], 从而其秩(rank)大于等于n. 可总共就n个向量, 因此只能满秩, 即Q线性无关.

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