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北-极-星

木虫 (正式写手)

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[求助] Mathematica偏微分方程求解编程求助已有1人参与

如图，我想在Mathematica中编程求出此方程的含边界条件的解，自己编程如下，不能运行，求大神帮忙指点。。
DSolve[{(\[PartialD]/\[PartialD]t)c[z, t] -
D*(\[PartialD]/\[PartialD]z)(\[PartialD]/\[PartialD]z)c[z, t] ==
0, c[z, t == 0] == Subscript[c, 0],
  D (\[PartialD]/\[PartialD]z)c[z == 1/2*Subscript[h, s], t] == 0,
  D (\[PartialD]/\[PartialD]z)
   c[z == 1/2*Subscript[h, s] + Subscript[h, f], t] == Subscript[J,
0]}, c[z, t], {z, t},
Constants -> {D, Subscript[c, 0], Subscript[h, s], Subscript[h, f],
Subscript[J, 0]}]

1.jpg

2.jpg

程序.jpg

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1楼 2014-07-25 20:25:46

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xzczd

木虫 (小有名气)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
dbb627: 金币+5, 计算强帖+1, 应助指数+1, 谢谢指导 2015-01-06 23:45:02

首先要指出的是，楼主的代码里语法错误非常多，并且都是很明显的错误。Mathematica（啊，确切地说是Mathematica内所使用的Wolfram）终究是编程语言，它有它明确的语法规范。就算这个方程DSolve可解，那正确的语法也应该是

CODE:

With[{c = c[z, t]}, eqn = D[c, t] - d D[c, z, z] == 0];

bc = {c[z, 0] == c0, Derivative[1, 0][c][hs/2, t] == 0, Derivative[1, 0][c][hs/2 + hf, t] == j0/d};

DSolve[{eqn, bc}, c[z, t], t]

然后，上面这段代码依旧会将输入原样返回，并提示软件无法求解这个问题。这个方程之所以会无法求解，个人觉得和Mathematica的DSolve对偏微分方程符号解的求解力弱有一定关系，但是更多的应该是因为Mathematica在总体上排斥使用级数来表示解（顺便Maple似乎也一样），理由嘛，个人猜测和级数的收敛性判定的困难有关，当然，这只是猜测。

题外话好像说的多了一点。既然Mathematica无法直接求解这个问题，那么我们有没有迂回策略呢？答案是有的。我们利用Mathematica来复现一般偏微分方程里面的相应求解方法就好了。

先拉普拉斯变换并求解所得的常微分方程：

CODE:

sol = FullSimplify[

  DSolve[LaplaceTransform[{eqn, Rest@bc}, t, s] /. 

      bcrule[[1]] /. {l_[c[z, t], t, s] :> c[z], 

      l_[d_[a_, 0][c][z_, t], t, s] :> d[a][c][z]}, c[z], z][[1, 1, 

    2]], d > 0 && hf != 0 && Abs[hs/2] <= Abs[z] <= Abs[hs/2 + hf]]

然后，因为我们已经知道这个东西反变换没有有限形式的解，而Mathematica不能直接给出级数解，那么，我们就把上面的结果在{hs/2, hs/2+hf}上做傅立叶余弦展开：

CODE:

(* 平移到{0, hf} *)

midsol = sol /. z -> z + hs/2 // Simplify

(* term1为余弦展开的第0项。这项没包含在通项里所以要单独求。 *)

term1 = FourierCosSeries[midsol, z, 0, FourierParameters -> {1, Pi/hf}, Assumptions -> hf > 0]

(* Mathematica虽然不乐意使用无穷级数表示解，却不缺求解级数系数通项的能力 *)

term2 = FourierCosCoefficient[midsol, z, n, 

  FourierParameters -> {1, Pi/hf}, Assumptions -> hf > 0]

因为拉普拉斯变换是线性变换，我们只要把上面的term2拉普拉斯反变换后再（在形式上）将它加合再把term1的反变换也加进来（别忘了把坐标系换回去）就获得了这个方程的级数解了：

CODE:

# + HoldForm[

    Sum[#2, {n, 1, 

      Infinity}]] & @@ ((Simplify[InverseLaplaceTransform[#, s, t], 

       d > 0] /. z -> z - hs/2) & /@ {term1, term2 Cos[Pi n/hf z]})

嗯……形式上和你的有一点区别，主要原因是Sum内部的两项其实可以展开，而其中的一部分是可以求和的——这一求和Sum也确实可以做到，但是，Mathematica默认情况下给出的形式和你的文献所给的不太一样，并且我暂时没找到将该式子化简成你的那个形式的方法。不过至此为止你的问题也基本解决了，而且我回答这个半年前的问题也纯粹是饭前血糖低导致的脑抽。所以，到此为止吧。

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北-极-星

小木虫Mathematica版块已毁（当然原本也不咋的），建议大家前往百度贴吧或Stackexchange。

2楼2015-01-06 19:02:51

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北-极-星

木虫 (正式写手)

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引用回帖:

2楼: Originally posted by xzczd at 2015-01-06 19:02:51
首先要指出的是，楼主的代码里语法错误非常多，并且都是很明显的错误。Mathematica（啊，确切地说是Mathematica内所使用的Wolfram）终究是编程语言，它有它明确的语法规范。就算这个方程DSolve可解，那正确的语法也 ...

多谢指导还要自己在研究研究

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3楼2015-01-06 22:04:03

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