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北-极-星

木虫 (正式写手)

[求助] Mathematica偏微分方程求解编程求助 已有1人参与

如图，我想在Mathematica中编程求出此方程的含边界条件的解，自己编程如下，不能运行，求大神帮忙指点。。
DSolve[{(\[PartialD]/\[PartialD]t)c[z, t] -
    D*(\[PartialD]/\[PartialD]z)(\[PartialD]/\[PartialD]z)c[z, t] ==
   0, c[z, t == 0] == Subscript[c, 0],
  D (\[PartialD]/\[PartialD]z)c[z == 1/2*Subscript[h, s], t] == 0,
  D (\[PartialD]/\[PartialD]z)
     c[z == 1/2*Subscript[h, s] + Subscript[h, f], t] == Subscript[J,
   0]}, c[z, t], {z, t},
Constants -> {D, Subscript[c, 0], Subscript[h, s], Subscript[h, f],
   Subscript[J, 0]}]

Mathematica偏微分方程求解编程求助
1.jpg


Mathematica偏微分方程求解编程求助-1
2.jpg


Mathematica偏微分方程求解编程求助-2
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1楼 2014-07-25 20:25:46
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xzczd

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
dbb627: 金币+5, 计算强帖+1, 应助指数+1, 谢谢指导 2015-01-06 23:45:02
首先要指出的是，楼主的代码里语法错误非常多，并且都是很明显的错误。Mathematica（啊，确切地说是Mathematica内所使用的Wolfram）终究是编程语言，它有它明确的语法规范。就算这个方程DSolve可解，那正确的语法也应该是
CODE:
With[{c = c[z, t]}, eqn = D[c, t] - d D[c, z, z] == 0];
bc = {c[z, 0] == c0, Derivative[1, 0][c][hs/2, t] == 0, Derivative[1, 0][c][hs/2 + hf, t] == j0/d};
DSolve[{eqn, bc}, c[z, t], t]

然后，上面这段代码依旧会将输入原样返回，并提示软件无法求解这个问题。这个方程之所以会无法求解，个人觉得和Mathematica的DSolve对偏微分方程符号解的求解力弱有一定关系，但是更多的应该是因为Mathematica在总体上排斥使用级数来表示解（顺便Maple似乎也一样），理由嘛，个人猜测和级数的收敛性判定的困难有关，当然，这只是猜测。

题外话好像说的多了一点。既然Mathematica无法直接求解这个问题，那么我们有没有迂回策略呢？答案是有的。我们利用Mathematica来复现一般偏微分方程里面的相应求解方法就好了。

先拉普拉斯变换并求解所得的常微分方程：
CODE:
sol = FullSimplify[
  DSolve[LaplaceTransform[{eqn, Rest@bc}, t, s] /.
      bcrule[[1]] /. {l_[c[z, t], t, s] :> c[z],
      l_[d_[a_, 0][c][z_, t], t, s] :> d[a][c][z]}, c[z], z][[1, 1,
    2]], d > 0 && hf != 0 && Abs[hs/2] <= Abs[z] <= Abs[hs/2 + hf]]

然后，因为我们已经知道这个东西反变换没有有限形式的解，而Mathematica不能直接给出级数解，那么，我们就把上面的结果在{hs/2, hs/2+hf}上做傅立叶余弦展开：
CODE:
(* 平移到{0, hf} *)
midsol = sol /. z -> z + hs/2 // Simplify
(* term1为余弦展开的第0项。这项没包含在通项里所以要单独求。 *)
term1 = FourierCosSeries[midsol, z, 0, FourierParameters -> {1, Pi/hf}, Assumptions -> hf > 0]
(* Mathematica虽然不乐意使用无穷级数表示解，却不缺求解级数系数通项的能力 *)
term2 = FourierCosCoefficient[midsol, z, n,
  FourierParameters -> {1, Pi/hf}, Assumptions -> hf > 0]

因为拉普拉斯变换是线性变换，我们只要把上面的term2拉普拉斯反变换后再（在形式上）将它加合再把term1的反变换也加进来（别忘了把坐标系换回去）就获得了这个方程的级数解了：
CODE:
# + HoldForm[
    Sum[#2, {n, 1,
      Infinity}]] & @@ ((Simplify[InverseLaplaceTransform[#, s, t],
       d > 0] /. z -> z - hs/2) & /@ {term1, term2 Cos[Pi n/hf z]})

Mathematica偏微分方程求解编程求助-3

嗯……形式上和你的有一点区别，主要原因是Sum内部的两项其实可以展开，而其中的一部分是可以求和的——这一求和Sum也确实可以做到，但是，Mathematica默认情况下给出的形式和你的文献所给的不太一样，并且我暂时没找到将该式子化简成你的那个形式的方法。不过至此为止你的问题也基本解决了，而且我回答这个半年前的问题也纯粹是饭前血糖低导致的脑抽。所以，到此为止吧。
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北-极-星 北-极-星
小木虫Mathematica版块已毁（当然原本也不咋的），建议大家前往百度贴吧或Stackexchange。
2楼2015-01-06 19:02:51
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北-极-星

木虫 (正式写手)
送红花一朵
引用回帖:
2楼: Originally posted by xzczd at 2015-01-06 19:02:51
首先要指出的是，楼主的代码里语法错误非常多，并且都是很明显的错误。Mathematica（啊，确切地说是Mathematica内所使用的Wolfram）终究是编程语言，它有它明确的语法规范。就算这个方程DSolve可解，那正确的语法也 ...

多谢指导  还要自己在研究研究
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3楼2015-01-06 22:04:03
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北-极-星

木虫 (正式写手)
送红花一朵
引用回帖:
2楼: Originally posted by xzczd at 2015-01-06 19:02:51
首先要指出的是，楼主的代码里语法错误非常多，并且都是很明显的错误。Mathematica（啊，确切地说是Mathematica内所使用的Wolfram）终究是编程语言，它有它明确的语法规范。就算这个方程DSolve可解，那正确的语法也 ...

多谢指导   我自个再研究研究
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4楼2015-01-06 22:05:13
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xzczd

木虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by 北-极-星 at 2015-01-06 22:04:03
多谢指导  还要自己在研究研究...

……仔细一看发现我漏掉了bcrule的定义。需要在bc的定义后面增加一行：
CODE:
bcrule = Rule [at=315114]@@[/at] bc

或者直接把bcrule换成
CODE:
c[z, 0] -> c0

也可以。
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5楼2015-01-07 13:32:28
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NicoleLas

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by xzczd at 2015-01-06 19:02:51
首先要指出的是，楼主的代码里语法错误非常多，并且都是很明显的错误。Mathematica（啊，确切地说是Mathematica内所使用的Wolfram）终究是编程语言，它有它明确的语法规范。就算这个方程DSolve可解，那正确的语法也 ...

请收下小的这个月的膝盖。
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Be water, my friend.
6楼2015-01-07 19:09:15
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