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谁负韶华

新虫 (小有名气)

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专业: 几何学

[求助] 求助实变函数一道

设{r_n}是（0，1）中的有理数全体，定义f(x)=∑2^-n（r_n小于x）,x∈(0,1],f(0)=0,证明f导数几乎处处存在且为0。

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1楼 2014-05-16 20:38:44

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谁负韶华

新虫 (小有名气)

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送红花一朵

引用回帖:

2楼: Originally posted by hank612 at 2014-05-17 07:03:06
由于f是递增的(non-decreasing)的, 所以导数a.e.存在 (Lebesgue 1910)

定义函数 g_n(x)= 2^{-n} Chi(x>r_n) (示性函数), 那么 f(x)=Sum_n g_n(x)
并且 g_n'(x)=0 a.e. (阶跃函数). 因此 f'(x)=0 a.e. 不过你 ...

多谢！豁然开朗！

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3楼2014-05-17 16:54:46

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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由于f是递增的(non-decreasing)的, 所以导数a.e.存在 (Lebesgue 1910)

定义函数 g_n(x)= 2^{-n} Chi(x>r_n) (示性函数), 那么 f(x)=Sum_n g_n(x)
并且 g_n'(x)=0 a.e. (阶跃函数). 因此 f'(x)=0 a.e. 不过你要证明求导与求和可以交换次序.