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谁负韶华

新虫 (小有名气)

[求助] 求助实变函数一道

设{r_n}是（0，1）中的有理数全体，定义f(x)=∑2^-n（r_n小于x）,x∈(0,1],f(0)=0,证明f导数几乎处处存在且为0。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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1楼 2014-05-16 20:38:44
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
由于f是递增的(non-decreasing)的, 所以导数a.e.存在 (Lebesgue 1910)

定义函数 g_n(x)= 2^{-n} Chi(x>r_n) (示性函数), 那么 f(x)=Sum_n g_n(x)
并且 g_n'(x)=0 a.e. (阶跃函数). 因此 f'(x)=0 a.e.  不过你要证明求导与求和可以交换次序.
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谁负韶华
We_must_know. We_will_know.
2楼2014-05-17 07:03:06
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谁负韶华

新虫 (小有名气)
送红花一朵
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2014-05-17 07:03:06
由于f是递增的(non-decreasing)的, 所以导数a.e.存在 (Lebesgue 1910)

定义函数 g_n(x)= 2^{-n} Chi(x>r_n) (示性函数), 那么 f(x)=Sum_n g_n(x)
并且 g_n'(x)=0 a.e. (阶跃函数). 因此 f'(x)=0 a.e.  不过你 ...

多谢！豁然开朗！

[ 发自小木虫客户端 ]
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3楼2014-05-17 16:54:46
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2014-05-17 07:03:06
由于f是递增的(non-decreasing)的, 所以导数a.e.存在 (Lebesgue 1910)

定义函数 g_n(x)= 2^{-n} Chi(x>r_n) (示性函数), 那么 f(x)=Sum_n g_n(x)
并且 g_n'(x)=0 a.e. (阶跃函数). 因此 f'(x)=0 a.e.  不过你 ...

我的证法也许会有问题，看网络上现成的答案吧
http://math.stackexchange.com/qu ... ction-is-equal-to-0

http://mathoverflow.net/question ... n-is-equal-to-0-a-e

有点高手如云，举重若轻的感觉，羡慕嫉妒恨。。。
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We_must_know. We_will_know.
4楼2014-05-19 05:31:36
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