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pupuyuan

新虫 (初入文坛)

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[交流] 关于不动点的一道证明题已有2人参与

K为非空紧度量空间，T为K到K的有界线性算子，对于任意K中的x，y，满足d(Tx,Ty)<d(x,y),令f(x)=d(Tx,x),证明
1）f为连续映射
2）T有唯一不动点

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1楼 2014-01-01 23:38:00

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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这个f 的定义就是最大的提示了。

由 d(Tx,x) <= d(Tx, Ty) + d(Ty, y) + d(y,x)并交换x,y, 可以知道 |f(x)-f(y)| <2 d(x,y). f连续。

由K紧得到 f达到下确界，设f(a) >=0 最小。如果 f(a)>0, 那么
f(Ta) = d(TTa, Ta) < d(Ta,a)= f(a), 只可能 T(Ta)=Ta, 还是矛盾。

因此 f(a)=0. 唯一是显然的，因为 d(Tx,Ty) < d(X,Y).