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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 【求助】数值分析证明题目
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guwenjuan

金虫 (小有名气)

[交流] 【求助】数值分析证明题目

证明：在P[x]中必须存在一个次数不高于4次的多项式P4（x）满足：
P4(0)=P4'(0)=0,
P4(1)=P4'(1)=1,
P4(2)=1。【P4中4均为下标】
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1楼 2010-11-27 17:50:23
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hailiang

金虫 (正式写手)
★
guwenjuan(金币+1):谢谢参与
用泰勒展开求出来就好了吧
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2楼2010-11-27 19:26:12
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panpase

木虫 (职业作家)
★
guwenjuan(金币+1):谢谢参与
围观下，待高手
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3楼2010-11-27 19:43:27
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★
guwenjuan(金币+1):谢谢参与
guwenjuan(金币+8):感谢 2010-11-28 09:38:27
这是典型的插值问题啊，五个方程决定五个系数。

P4(0)=P4'(0)=0   => P4(x) = (x^2)  Q(x)

P4(1)=P4'(1)=1   => Q(1)=1, Q'(1) = 1-2Q(1) = -1  => Q(x) = 1+(1-x) +a  (1-x)^2

∴ P4(x) = x^2 (2-x) + a (x^2) (1-x)^2

P4(2) = 1  => 4 a =1 => a= 1/4

∴ P4(x) = x^2 (2-x + ((1-x)^2)/4)

显然不超过四次，自己去展开吧

[ Last edited by Pchief on 2010-11-27 at 22:01 ]
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4楼2010-11-27 22:00:07
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zffang

银虫 (正式写手)

路过

我来算一下
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5楼2010-11-28 11:47:38
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zffang

银虫 (正式写手)

答案

★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
-1/4(x^4+4x^3-9x^2)
得证
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6楼2010-11-28 11:53:20
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zffang

银虫 (正式写手)

开心

，嘿嘿凑个热闹竟然还赚半个金币
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7楼2010-11-28 11:53:52
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彭成松

银虫 (小有名气)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
呵呵，就是待定系数法也能解出来吧！
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8楼2010-12-04 21:03:56
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yongchaohou1982

木虫 (小有名气)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
引用回帖:
Originally posted by guwenjuan at 2010-11-27 17:50:23:
证明：在P[x]中必须存在一个次数不高于4次的多项式P4（x）满足：
P4(0)=P4'(0)=0,
P4(1)=P4'(1)=1,
P4(2)=1。【P4中4均为下标】

可以利用重节点差商计算，埃尔米特插值问题。
将0，1视为二重节点，即
x   f    1阶  2阶  3阶 4阶
0  0
0  0    0
1  1    1     1
1  1    1     0     -1
2  1    0    -1     -1/2    1/4


P4(x)=x^2-x^2*(x-1)+1/4*x^2*(x-1)^2
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9楼2010-12-05 00:19:05
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wangxiuyou

至尊木虫 (著名写手)
★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
小雨萌萌(金币+1): 3Q 2011-08-30 14:38:26
简单的hermite插值问题
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10楼2011-08-30 07:22:34
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wgdxidname

木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
标准的 hermite插值问题。
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11楼2013-03-13 00:25:46
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