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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 【求助】数值分析证明题目
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guwenjuan

金虫 (小有名气)

[交流] 【求助】数值分析证明题目

证明：在P[x]中必须存在一个次数不高于4次的多项式P4（x）满足：
P4(0)=P4'(0)=0,
P4(1)=P4'(1)=1,
P4(2)=1。【P4中4均为下标】
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1楼 2010-11-27 17:50:23
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yongchaohou1982

木虫 (小有名气)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
引用回帖:
Originally posted by guwenjuan at 2010-11-27 17:50:23:
证明：在P[x]中必须存在一个次数不高于4次的多项式P4（x）满足：
P4(0)=P4'(0)=0,
P4(1)=P4'(1)=1,
P4(2)=1。【P4中4均为下标】

可以利用重节点差商计算，埃尔米特插值问题。
将0，1视为二重节点，即
x   f    1阶  2阶  3阶 4阶
0  0
0  0    0
1  1    1     1
1  1    1     0     -1
2  1    0    -1     -1/2    1/4


P4(x)=x^2-x^2*(x-1)+1/4*x^2*(x-1)^2
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9楼2010-12-05 00:19:05
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hailiang

金虫 (正式写手)
★
guwenjuan(金币+1):谢谢参与
用泰勒展开求出来就好了吧
赞一下(1人) 回复此楼
2楼2010-11-27 19:26:12
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panpase

木虫 (职业作家)
★
guwenjuan(金币+1):谢谢参与
围观下，待高手
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3楼2010-11-27 19:43:27
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★
guwenjuan(金币+1):谢谢参与
guwenjuan(金币+8):感谢 2010-11-28 09:38:27
这是典型的插值问题啊，五个方程决定五个系数。

P4(0)=P4'(0)=0   => P4(x) = (x^2)  Q(x)

P4(1)=P4'(1)=1   => Q(1)=1, Q'(1) = 1-2Q(1) = -1  => Q(x) = 1+(1-x) +a  (1-x)^2

∴ P4(x) = x^2 (2-x) + a (x^2) (1-x)^2

P4(2) = 1  => 4 a =1 => a= 1/4

∴ P4(x) = x^2 (2-x + ((1-x)^2)/4)

显然不超过四次，自己去展开吧

[ Last edited by Pchief on 2010-11-27 at 22:01 ]
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4楼2010-11-27 22:00:07
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