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guwenjuan

金虫 (小有名气)

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[交流] 【求助】数值分析证明题目

证明：在P[x]中必须存在一个次数不高于4次的多项式P4（x）满足：
P4(0)=P4'(0)=0,
P4(1)=P4'(1)=1,
P4(2)=1。【P4中4均为下标】

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1楼 2010-11-27 17:50:23

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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)

★
guwenjuan(金币+1):谢谢参与
guwenjuan(金币+8):感谢 2010-11-28 09:38:27

这是典型的插值问题啊，五个方程决定五个系数。

P4(0)=P4'(0)=0 => P4(x) = (x^2)  Q(x)

P4(1)=P4'(1)=1 => Q(1)=1, Q'(1) = 1-2Q(1) = -1  => Q(x) = 1+(1-x) +a  (1-x)^2

∴ P4(x) = x^2 (2-x) + a (x^2) (1-x)^2

P4(2) = 1  => 4 a =1 => a= 1/4

∴ P4(x) = x^2 (2-x + ((1-x)^2)/4)

显然不超过四次，自己去展开吧

[ Last edited by Pchief on 2010-11-27 at 22:01 ]