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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 关于不动点的一个问题
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ayismas

木虫 (正式写手)

[求助] 关于不动点的一个问题 已有1人参与

如果函数Y=f(X)的定义域S是一个凸的、有界的、非空的集合，值域U是S的一个非空的子集，并且该函数在定义域S上是连续的。是否定义域内一定至少存在一点X’，使得f(X')=X'？
      由不定点定理可知当U=S时，上面的问题一定成立。如果U是S的真子集，上面的问题是否依然成立？如果成立的话，如何证明？如果不成立的话，有什么反例或者证明方法？
      请大神帮助！！！
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1楼 2014-01-01 12:26:24
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

weft

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
ayismas: 金币+15, ★★★★★最佳答案 2014-01-01 13:58:04
引用回帖:
5楼: Originally posted by ayismas at 2014-01-01 13:29:20
非常感谢！但我还是有一个疑问：s如果定义域再加一个闭集性的条件，当U=S时，满足条件的不动点一定存在。但是U是S的真子集时，不动点还存在吗？好像你给出的这个定理没有回答这个问题。
...

你确信你看懂了Schauder不动点定理的条件? 该定理并没有要求是满射, 也就是不要求U=S. 你的担心是多余的.
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6楼2014-01-01 13:53:27
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普通回帖

ayismas

木虫 (正式写手)
不定点应该不动点，写错了，请见谅！

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2楼2014-01-01 12:33:10
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ayismas

木虫 (正式写手)
没有人知道啊？或者这就是一个定理吗？

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3楼2014-01-01 13:11:29
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weft

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
楼主, 很抱歉, 有一个坏消息和好消息要告诉你.

坏消息是: 很遗憾, 当时结论未必成立. 例子: 考虑一元函数, 取定义域是开区间, 显然你的所有要求都满足, 并且值域, 但是在上没有不动点.

好消息是: 你想要的结果还有挽回的余地, 将定义域的有界性替换为闭性, 同时加强要求映射的像集是列紧的, 那么此时一定有不动点, 这就是所谓的Schauder不动点定理.
关于不动点的一个问题
Schauder fixed point theorem.png
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ayismas
4楼2014-01-01 13:14:01
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ayismas

木虫 (正式写手)
送红花一朵
引用回帖:
4楼: Originally posted by weft at 2014-01-01 13:14:01
楼主, 很抱歉, 有一个坏消息和好消息要告诉你.

坏消息是: 很遗憾, 当{U=S}时结论未必成立. 例子: 考虑一元函数{f(x)=x^2}, 取定义域{S}是{(0,1)}开区间, 显然你的所有要求都满足, 并且值域{U=S}, 但是{f}在{S}上 ...

非常感谢！但我还是有一个疑问：s如果定义域再加一个闭集性的条件，当U=S时，满足条件的不动点一定存在。但是U是S的真子集时，不动点还存在吗？好像你给出的这个定理没有回答这个问题。

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5楼2014-01-01 13:29:20
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ayismas

木虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by weft at 2014-01-01 13:53:27
你确信你看懂了Schauder不动点定理的条件? 该定理并没有要求是满射, 也就是不要求U=S. 你的担心是多余的....

好的，原来如此，在一本书的附录里面看到了这个定理，原来是这样，好的谢谢啦，终于知道是怎么回事了！谢谢啦！

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7楼2014-01-01 13:57:49
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weft

木虫 (正式写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by ayismas at 2014-01-01 13:57:49
好的，原来如此，在一本书的附录里面看到了这个定理，原来是这样，好的谢谢啦，终于知道是怎么回事了！谢谢啦！
...

如果你看到的书里边如你所说把该定理中定义域的闭性换成了有界性, 我建议你谨慎看此书. 把这么重要的定理叙述错误, 作者真的是不负责.
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8楼2014-01-01 14:03:06
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ayismas

木虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by weft at 2014-01-01 14:03:06
如果你看到的书里边如你所说把该定理中定义域的闭性换成了有界性, 我建议你谨慎看此书. 把这么重要的定理叙述错误, 作者真的是不负责....

是我理解错了，我把紧集的概念搞错了

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9楼2014-01-01 14:09:07
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ayismas

木虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by weft at 2014-01-01 14:03:06
如果你看到的书里边如你所说把该定理中定义域的闭性换成了有界性, 我建议你谨慎看此书. 把这么重要的定理叙述错误, 作者真的是不负责....

不过有界性和闭性都是紧集的条件啊

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10楼2014-01-01 14:13:25
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