| 查看: 1809 | 回复: 6 | |||
[交流]
所知的偏微分方程的几种定性方法 已有4人参与
|
|
大量的数学物理方程的推到，依赖于守恒律以及某些对称性假设的结果，所以很大程度上方程的推到变得简单（相对于求解）。事物的两面性告诉我们，求解PDEs将必然耗去我们大量的时间和精力。相反，如果有另一种方式，使得诠释物理过程在数学上变得异常复杂，那对于可解的问题是否将变得简单化。。。。。 1.Hilbert space method 关于微分算子的一种自然的表述应该是广义函数下的解释。因而PDEs被理解为广义函数空间中的一个元，其实是检验函数空间的归纳极限拓扑使得微分运算畅通无阻，而且还保持TVS的完备性。由于大量的函数空间的对偶空间可以被嵌入在广义函数空间里面，所以PDEs可以被理解为一种对偶形式。Hilbert space 一方面是自对偶的，另一方面有一个自然的内积结构与物理的能量观念对应。所以大量的力学及物理问题可由变分不等方程描述。热学，弹性，粘弹性，塑性，各种摩擦问题，Bingham流体，电磁，etc 当然一般不能在广义函数空间下面讨论这类问题，一个重要的困难在于乘法运算。还好我们有局部可积函数对应的广义函数，加入范数结构，就变得十分有用。一个著名的例子就是Sobolev space。确定在什么样的空间下面讨论PDEs的解，这是首先面对的大问题。。。 此外，还有非齐次问题，边界的几何条件，etc 相当长远的路。。。。 2.Weak convergence method 脱离Hilbert space的良好结构，这是Banach space中求解PDEs的另一种方法。具体不知，无限维Banach space中单位球紧性缺失，必须要考虑各种各样的弱拓扑了。通常是选择使得连续线性泛函族（范拓扑下）保持连续的最弱拓扑。一系列的讨论自然就来了，紧性，可分性，etc 倘若掌握了这种方法的精髓，想必十分强大。 3.Fixed point methd 为了说明某些存在性问题，除了紧性，fixed point 的观点另辟蹊径。一般有metrix fixed point theorem，但最著名也是最有影响的是topological fixed point theorem。这年头，拓扑化视乎是个趋势。与拓扑相关的结果一般具有可遗传性，就是在同胚下保持某种不变性，这里我们说的是不动点存在性。各种延拓的定理在此表现得异常强大。PDEs问题以另一种角度被解释了，我们可以在normed space下考虑这类问题，直接求解算子方程的强大工具，这是代数拓扑的魅力啊。可惜，一般我们很难获得迭代格式用于计算机计算。鱼和熊掌不可兼得吧。。。 应该还有其他的各类方面，请各种虫友，列举一二，希望通俗易懂点的，交流交流。。。  大概还有 4.Lie group method 李群分析与PDEs，有一些书讲这个，比如“瑞典人Nail H. Ibragimov编写的李群分析与偏微分方程关系式之手册” [ Last edited by nagami on 2013-12-9 at 16:11 ] |
回复此楼» 猜你喜欢
317求调剂
已经有6人回复
-
304求调剂
已经有4人回复
-
085700资源与环境308求调剂
已经有7人回复
-
265求调剂
已经有5人回复
-
279分求调剂 一志愿211
已经有3人回复
-
求调剂
已经有3人回复
-
一志愿吉林大学材料学硕321求调剂
已经有12人回复
-
286分人工智能专业请求调剂愿意跨考！
已经有3人回复
-
329求调剂
已经有5人回复
-
申请回稿延期一个月，编辑同意了。但系统上的时间没变，给编辑又写邮件了，没回复
已经有4人回复
» 本主题相关价值贴推荐，对您同样有帮助:
- 求助投稿期刊杂志
已经有6人回复
- 环境数学模型投哪个杂志
已经有9人回复
- 怎么学流体力学？
已经有16人回复
- 偏向于方程和几何（几何分析）的杂志有哪些呀？推荐几个吧
已经有16人回复
- 【有奖活动】--来谈谈你所读过的数学名著
已经有14人回复
- 什么是mild solution？
已经有8人回复
- 数学青年基金,手工仅查出9个!
已经有55人回复
- 【讨论】你所知道的非线性方法
已经有8人回复
feixiaolin
荣誉版主 (文坛精英)
-
专家经验: +518 - 应助: 942 (博后)
- 贵宾: 1.275
- 金币: 3430
- 散金: 58785
- 红花: 532
- 沙发: 11
- 帖子: 24215
- 在线: 2601.8小时
- 虫号: 2139575
- 注册: 2012-11-21
- 专业: 光学信息获取与处理
- 管辖: 数学
2楼2013-12-06 21:58:41
3楼2013-12-07 08:59:39
feixiaolin
荣誉版主 (文坛精英)
-
专家经验: +518 - 应助: 942 (博后)
- 贵宾: 1.275
- 金币: 3430
- 散金: 58785
- 红花: 532
- 沙发: 11
- 帖子: 24215
- 在线: 2601.8小时
- 虫号: 2139575
- 注册: 2012-11-21
- 专业: 光学信息获取与处理
- 管辖: 数学
4楼2013-12-07 09:03:55
5楼2013-12-07 12:15:15
 本帖仅楼主可见 |
6楼2013-12-09 11:37:05
laohuajiang
至尊木虫 (职业作家)
老花匠
- 应助: 25 (小学生)
- 贵宾: 5.103
- 金币: 24630.6
- 散金: 12309
- 红花: 351
- 沙发: 7
- 帖子: 4476
- 在线: 1301.5小时
- 虫号: 2683919
- 注册: 2013-09-26
- 性别: GG
- 专业: 计算数学与科学工程计算
7楼2013-12-09 21:29:54
10