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nagami

木虫 (正式写手)

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[交流] 所知的偏微分方程的几种定性方法已有4人参与

大量的数学物理方程的推到，依赖于守恒律以及某些对称性假设的结果，所以很大程度上方程的推到变得简单（相对于求解）。事物的两面性告诉我们，求解PDEs将必然耗去我们大量的时间和精力。相反，如果有另一种方式，使得诠释物理过程在数学上变得异常复杂，那对于可解的问题是否将变得简单化。。。。。
1.Hilbert space method
关于微分算子的一种自然的表述应该是广义函数下的解释。因而PDEs被理解为广义函数空间中的一个元，其实是检验函数空间的归纳极限拓扑使得微分运算畅通无阻，而且还保持TVS的完备性。由于大量的函数空间的对偶空间可以被嵌入在广义函数空间里面，所以PDEs可以被理解为一种对偶形式。Hilbert space 一方面是自对偶的，另一方面有一个自然的内积结构与物理的能量观念对应。所以大量的力学及物理问题可由变分不等方程描述。热学，弹性，粘弹性，塑性，各种摩擦问题，Bingham流体，电磁，etc
当然一般不能在广义函数空间下面讨论这类问题，一个重要的困难在于乘法运算。还好我们有局部可积函数对应的广义函数，加入范数结构，就变得十分有用。一个著名的例子就是Sobolev space。确定在什么样的空间下面讨论PDEs的解，这是首先面对的大问题。。。
此外，还有非齐次问题，边界的几何条件，etc
相当长远的路。。。。
2.Weak convergence method
脱离Hilbert space的良好结构，这是Banach space中求解PDEs的另一种方法。具体不知，无限维Banach space中单位球紧性缺失，必须要考虑各种各样的弱拓扑了。通常是选择使得连续线性泛函族（范拓扑下）保持连续的最弱拓扑。一系列的讨论自然就来了，紧性，可分性，etc
倘若掌握了这种方法的精髓，想必十分强大。
3.Fixed point methd
为了说明某些存在性问题，除了紧性，fixed point 的观点另辟蹊径。一般有metrix fixed point theorem，但最著名也是最有影响的是topological fixed point theorem。这年头，拓扑化视乎是个趋势。与拓扑相关的结果一般具有可遗传性，就是在同胚下保持某种不变性，这里我们说的是不动点存在性。各种延拓的定理在此表现得异常强大。PDEs问题以另一种角度被解释了，我们可以在normed space下考虑这类问题，直接求解算子方程的强大工具，这是代数拓扑的魅力啊。可惜，一般我们很难获得迭代格式用于计算机计算。鱼和熊掌不可兼得吧。。。
应该还有其他的各类方面，请各种虫友，列举一二，希望通俗易懂点的，交流交流。。。