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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 关于不动点的一个问题
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ayismas

木虫 (正式写手)

[求助] 关于不动点的一个问题已有1人参与

如果函数Y=f(X)的定义域S是一个凸的、有界的、非空的集合，值域U是S的一个非空的子集，并且该函数在定义域S上是连续的。是否定义域内一定至少存在一点X’，使得f(X')=X'？
      由不定点定理可知当U=S时，上面的问题一定成立。如果U是S的真子集，上面的问题是否依然成立？如果成立的话，如何证明？如果不成立的话，有什么反例或者证明方法？
      请大神帮助！！！
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1楼2014-01-01 12:26:24
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ayismas

木虫 (正式写手)
送红花一朵
引用回帖:
4楼: Originally posted by weft at 2014-01-01 13:14:01
楼主, 很抱歉, 有一个坏消息和好消息要告诉你.

坏消息是: 很遗憾, 当{U=S}时结论未必成立. 例子: 考虑一元函数{f(x)=x^2}, 取定义域{S}是{(0,1)}开区间, 显然你的所有要求都满足, 并且值域{U=S}, 但是{f}在{S}上 ...

非常感谢！但我还是有一个疑问：s如果定义域再加一个闭集性的条件，当U=S时，满足条件的不动点一定存在。但是U是S的真子集时，不动点还存在吗？好像你给出的这个定理没有回答这个问题。

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5楼2014-01-01 13:29:20
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ayismas

木虫 (正式写手)
不定点应该不动点，写错了，请见谅！

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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2楼2014-01-01 12:33:10
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ayismas

木虫 (正式写手)
没有人知道啊？或者这就是一个定理吗？

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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3楼2014-01-01 13:11:29
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weft

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
楼主, 很抱歉, 有一个坏消息和好消息要告诉你.

坏消息是: 很遗憾, 当时结论未必成立. 例子: 考虑一元函数, 取定义域是开区间, 显然你的所有要求都满足, 并且值域, 但是在上没有不动点.

好消息是: 你想要的结果还有挽回的余地, 将定义域的有界性替换为闭性, 同时加强要求映射的像集是列紧的, 那么此时一定有不动点, 这就是所谓的Schauder不动点定理.
关于不动点的一个问题
Schauder fixed point theorem.png
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ayismas
4楼2014-01-01 13:14:01
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