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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 以前的知识有点忘了，有谁能帮我证明下这两个函数的单调性？附问题
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咖啡或茶

木虫 (著名写手)

[求助] 以前的知识有点忘了，有谁能帮我证明下这两个函数的单调性？附问题

应该就是高中大学的知识，很久不用有点忘了。谁能帮我证明下，尽量详细点，最好能帮我重温下证明函数单调性的几种方法，先谢谢了！
以前的知识有点忘了，有谁能帮我证明下这两个函数的单调性？附问题
11.jpg
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1楼 2013-11-05 17:19:10
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咖啡或茶

木虫 (著名写手)
第一个是绝对值
第二个是绝对值减去绝对值
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2楼2013-11-05 17:19:59
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
f(x)=|A/B|,
取A*B=0，得到几个点；
按照这几个点，划分成若干区间；
在各个区间内分别退去||符号、展开处理。
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3楼2013-11-05 17:46:19
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咖啡或茶

木虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by feixiaolin at 2013-11-05 17:46:19
f(x)=|A/B|,
取A*B=0，得到几个点；
按照这几个点，划分成若干区间；
在各个区间内分别退去||符号、展开处理。

f(x)是增函数。但我没证明。应该没有零值点。
有其他方法证明它是单调递增的吗
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4楼2013-11-05 18:09:44
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十五的月牙

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
一般可以用函数的一次倒数的正负来判定函数的单调性  是在不行就用定义 取x1>x2>1 从而推出f（x2）>f（x1）  常用的就这两种方法
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5楼2013-11-05 20:37:43
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咖啡或茶

木虫 (著名写手)
求助
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6楼2013-11-06 15:10:20
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by 咖啡或茶 at 2013-11-05 18:09:44
f(x)是增函数。但我没证明。应该没有零值点。
有其他方法证明它是单调递增的吗...

冒昧问一下，
(1):  Cos(theta) > 0 ???
(2):  x* cos(theta) > 根号(x - Sin^2(theta)) ???
(3): x > 2* Sin^2(theta) ??

如果同时满足这三个条件，可以通过求导的方法判断 第一个函数是单调上升的。 当然， 条件(2) 预示着 绝对值符号可以不要。

楼主能画个图（matlab 或 mathematica) 看看函数长啥样， 心里就会有底些。。。
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We_must_know. We_will_know.
7楼2013-11-07 12:29:32
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咖啡或茶

木虫 (著名写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by hank612 at 2013-11-07 12:29:32
冒昧问一下，
(1):  Cos(theta) > 0 ???
(2):  x* cos(theta) > 根号(x - Sin^2(theta)) ???
(3): x > 2* Sin^2(theta) ??

如果同时满足这三个条件，可以通过求导的方法判断 第一个函数是单调上升 ...

sorry,忘了说了，cos(theta)>0 ，theta一般是0度到70度之间
所以（1）成立
(2)。这个我不确定
(3) 也许我没详细注明，因为X一般至少是大于2的，所以第三项也成立。
也就是函数的限定条件为
0<theta<70 , X>2
请问怎么证明？证明过程能否截个图片发上或附件？
第二个函数的单调性能证明吗？
感谢！
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8楼2013-11-07 22:01:08
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by 咖啡或茶 at 2013-11-07 22:01:08
sorry,忘了说了，cos(theta)>0 ，theta一般是0度到70度之间
所以（1）成立
(2)。这个我不确定
(3) 也许我没详细注明，因为X一般至少是大于2的，所以第三项也成立。
也就是函数的限定条件为
0<theta< ...

x^2* Cos^2(theta) - (x- Sin^2(theta))
= (x-1) * Cos^2(theta) * (x- tan^2(theta)).

当0< theta <70, 那么 0< tan(theta) <tan(70 degree) = 2.747...,
所以 x * Cos(theta) - Sqrt( x - Sin^2(theta) ) 还是可以等于零的，直到 x>5.5 以后。 而函数值取零摆明了是绝对值函数的最小值点， 不可能单调的。

当 x >5.5 后， 函数可以去掉绝对值符号。 求导， 忽略分母， 只看分子： f' * g - f* g' = 化简后 = (x- 2*Sin^2(theta))/ Sqrt( x- Sin^2(theta)) >0. 所以从那以后单调。

第二题没去多想， 估计还是先去掉 绝对值符号，然后依然是求导。。。
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We_must_know. We_will_know.
9楼2013-11-08 00:29:32
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咖啡或茶

木虫 (著名写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by hank612 at 2013-11-08 00:29:32
x^2* Cos^2(theta) - (x- Sin^2(theta))
= (x-1) * Cos^2(theta) * (x- tan^2(theta)).

当0< theta <70, 那么 0< tan(theta) <tan(70 degree) = 2.747...,
所以 x * Cos(theta) - Sqrt( x - Si ...

小木虫居然没有提示我消息 我自己写了个程序，固定一些参数，看看大体趋势就行了。谢谢！
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10楼2013-11-22 16:11:06
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