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2628939336新虫 (初入文坛)
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一个高一函数题求解
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| 已知函数f(x)=(x2+kx+1)/(x2+x+1)(这是分式函数，其中是x的平方)，若存在a,b,c属于R，使得f(a)+f(b)＜f(c),求k的取值范围？ |
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2楼2013-10-25 08:57:27
3楼2013-10-26 07:59:13
ufemach
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【答案】应助回帖
感谢参与，应助指数 +1
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令y=f(x)， 由f(x)=(x2＋kx＋1)/( x2＋x＋1) 得：（x2＋x＋1）y= x2＋kx＋1, 即：（y－1）x2＋（y－k）x＋（y－1）=0, 当k=1时，y≡1，所以不存在实数a、b、c，使得f(a) ＋f(b) < f(c). 当k≠1时， 若y=1，则x =0， 若y≠1，则△=( y－k)2 －4(y－1)2， =3y2＋(2k－8)y＋(4－k2) 解方程3y2＋(2k－8)y＋(4－k2)=0， 得：y1=(4－k－2|k－1|)/3 , y2=(4－k＋2|k－1|)/3 , 由任意的实数a、b、c，都有f(a) ＋f(b) < f(c) 得：2[（4－k－2|k－1|）/3] < (4－k＋2|k－1|)/3 则k∈（－∞，2/5 ）∪（10/7，＋∞）． |
4楼2013-10-26 11:22:56
ufemach
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【答案】应助回帖
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2628939336: 金币+5, ★★★很有帮助 2013-10-26 20:43:44
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令y=f(x)， 由f(x)=(x^2＋kx＋1)/( x^2＋x＋1) 得：（x^2＋x＋1）y= x^2＋kx＋1, 即：（y－1）x^2＋（y－k）x＋（y－1）=0, 当k=1时，y≡1，所以不存在实数a、b、c，使得f(a) ＋f(b) < f(c). 当k≠1时， 若y=1，则x =0， 若y≠1，则△=( y－k)^2 －4(y－1)^2， =3y^2＋(2k－8)y＋(4－k^2) 解方程3y^2＋(2k－8)y＋(4－k^2)=0， 得：y1=(4－k－2|k－1|)/3 , y2=(4－k＋2|k－1|)/3 , 由任意的实数a、b、c，都有f(a) ＋f(b) < f(c) 得：2[（4－k－2|k－1|）/3] < (4－k＋2|k－1|)/3 则k∈（－∞，2/5 ）∪（10/7，＋∞）． |
5楼2013-10-26 11:26:46
ufemach
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由于y1 < y2、f(a)＋f(b) < f(c)，故不可能y2+ y2< y1，只有y1+ y1< y2或y1+ y2< y2。 （y1+ y2< y2解出的k值范围包含于y1+ y1< y2解出的k值范围。） 令y=f(x)， 由f(x)=(x^2＋kx＋1)/( x^2＋x＋1) 得：（x^2＋x＋1）y= x^2＋kx＋1, 即：（y－1）x^2＋（y－k）x＋（y－1）=0, 当k=1时，y≡1，所以不存在实数a、b、c，使得f(a) ＋f(b) < f(c). 当k≠1时， 若y=1，则x =0， 若y≠1，则△=( y－k)^2 －4(y－1)^2， =3y^2＋(2k－8)y＋(4－k^2) 解方程3y^2＋(2k－8)y＋(4－k^2)=0， 得：y1=(4－k－2|k－1|)/3 , y2=(4－k＋2|k－1|)/3 , 由任意的实数a、b、c，都有f(a) ＋f(b) < f(c) 得：2[（4－k－2|k－1|）/3] < (4－k＋2|k－1|)/3 或（4－k－2|k－1|）/3+(4－k＋2|k－1|)/3< (4－k＋2|k－1|)/3 则k∈（－∞，2/5 ）∪（10/7，＋∞）． |
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