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08jmliu

新虫 (小有名气)

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[交流] 函数列极限问题

如果f_{n}（x）为[a,b]上连续函数列。在x\in [a,b] 是都有
lim_{n} f_{n}(x)=0.
那么是否有
lim_{n} sup_{[a,b]}f_{n}(x)=0 ?

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1楼 2013-08-29 10:54:35

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jabile

木虫 (正式写手)

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结论不成立，如[0,1]区间，
令 $f_n(x)$ 的最大值唯一，且仅在区间 $[1/(3n+2),1/(3n+2)]$~内不等于0即可

7楼2013-09-01 22:11:05

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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虫号: 2530333

★
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逐点收敛是很弱的条件，应该得不到一致收敛的结果。

你考虑一列函数fn.
f(0)=f(2/n)=f(1)=0, f(1/n)=1. 其它地方线性。
它们满足你的要求，但lim sup =1.

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2楼2013-08-29 11:19:49

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zhouxq12

木虫 (小有名气)

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★
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应该是的，f_{n}（x）为[a,b]上一致连续函数列。

4楼2013-08-31 09:46:34

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ssszhangxx

铁杆木虫 (正式写手)

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★
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f_n(x)=x^n, x\in [0,0.5]

5楼2013-09-01 16:43:21

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