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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 关于简单函数极限值问题
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flysun

银虫 (正式写手)

[求助] 关于简单函数极限值问题

如下图函数，当函数x趋向于0时候，其极值是什么？最好给出推导步骤吧，谢谢了。
关于简单函数极限值问题
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1楼2013-07-26 13:15:51
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
flysun: 金币+5, ★★★★★最佳答案 2013-07-27 08:12:34
应该是0，因为在x -> 0时， 展开 sinh(x)=x+1/6*x^3+1/120*x^5+O(x^6), cosh(x)=1+1/2*x^2+1/24*x^4+O(x^6)，所以 y=(sinh(x)-x)/(cosh(x)-1) ≈ 1/6*x^3/ (1/2*x^2)= 1/3 x -> 0。
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2楼2013-07-26 13:37:14
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supervb

铁杆木虫 (文坛精英)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
将sinh(x)和cosh(x)分别Taylor展开，可以发现sinh(x)-x = x^3/3!+x^5/5!+...; 而cosh(x)-1 = x^2/2!+x^4/4!+...;
可见分子的多项式最小幂次大于分母的多项式，当x->0时，y->0。
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咱是做非线性随机动力学的哟
3楼2013-07-26 13:37:27
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
有关的定义和性质
cosh(x)= (e^x+e^{-x})/2,
sinh(x)= (e^x-e^{-x})/2,
d(cosh(x))/dx = sinh(x), d(sinh(x))/dx =cosh(x)

所以 用L'Hospital 法则，
y= ( cosh(x)-1) / sinh(x) 再来一次该法则，
= sinh(x) / cosh(x)  现在是正常函数值
=0.

你也可以直接看它们的展开式
cosh(x)=1+ x^2/ 2! + x^4/ 4! +...
sinh(x)= x + x^3/ 3! + x^5 / 5! +...
所以在零点附近 y(x) = x/3 + o(x).
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We_must_know. We_will_know.
4楼2013-07-26 13:43:23
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miliyin

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这样的交流很有意思呀~~~~~~~~~
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我的中国梦：希望从某一天开始科研成为我的唯一工作强项
5楼2013-07-26 21:48:49
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laosam280

禁虫 (正式写手)
感谢参与，应助指数 +1
本帖内容被屏蔽
6楼2013-07-27 05:11:17
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wangefang

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
使用两次罗比达法则就能求出来的, 结果是零. 很简单的啊.
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Themorewedo,themorewecando.
7楼2013-07-27 06:16:13
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