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flysun

银虫 (正式写手)

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[求助] 关于简单函数极限值问题

如下图函数，当函数x趋向于0时候，其极值是什么？最好给出推导步骤吧，谢谢了。

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1楼2013-07-26 13:15:51

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

有关的定义和性质
cosh(x)= (e^x+e^{-x})/2,
sinh(x)= (e^x-e^{-x})/2,
d(cosh(x))/dx = sinh(x), d(sinh(x))/dx =cosh(x)

所以用L'Hospital 法则，
y= ( cosh(x)-1) / sinh(x) 再来一次该法则，
= sinh(x) / cosh(x) 现在是正常函数值
=0.

你也可以直接看它们的展开式
cosh(x)=1+ x^2/ 2! + x^4/ 4! +...
sinh(x)= x + x^3/ 3! + x^5 / 5! +...
所以在零点附近 y(x) = x/3 + o(x).

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We_must_know. We_will_know.

4楼2013-07-26 13:43:23

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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
flysun: 金币+5, ★★★★★最佳答案 2013-07-27 08:12:34

应该是0，因为在x -> 0时，展开 sinh(x)=x+1/6*x^3+1/120*x^5+O(x^6), cosh(x)=1+1/2*x^2+1/24*x^4+O(x^6)，所以 y=(sinh(x)-x)/(cosh(x)-1) ≈ 1/6*x^3/ (1/2*x^2)= 1/3 x -> 0。

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2楼2013-07-26 13:37:14

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