[求助] 线性系统问题求助

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在绝望中寻找希望，人生终将辉煌。

1楼2013-08-11 13:41:12

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我觉得应该可以从从稳定矩阵的性质和矩阵范数的定义两个角度综合考虑，希望能够提供一定的思路。

2楼2013-08-11 16:12:36

dfh3919

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lipeng0327: 金币+1 2013-08-11 22:13:39

将F矩阵对角化，然后利用F与对角矩阵（其中主对角线元素为F矩阵的特征值）的等价性就可以证明了。

3楼2013-08-11 21:49:38

liuyang5264

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将F化为Jordan标准型，按照子块的几种不同类型分别讨论就可以了。

4楼2013-08-12 09:45:37

gaofeng79

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lipeng0327: 金币+2 2013-08-12 13:11:16

将F分解为F=U*S*V'，U和V为单位矩阵，S为F的奇异值构成的对角阵。
这样就有|e^Ft|=|U*(e^St)*V|<=|U|*|e^St|*|V|。由于U和V为单位阵，所以有|e^Ft|<=|e^St|。
S是对角阵，剩下的应该明白了吧。

发动机控制;快速原型;硬件在环测试;汽车主动安全;

5楼2013-08-12 12:16:10

lipeng0327

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引用回帖:

5楼: Originally posted by gaofeng79 at 2013-08-12 12:16:10
将F分解为F=U*S*V'，U和V为单位矩阵，S为F的奇异值构成的对角阵。
这样就有|e^Ft|=|U*(e^St)*V|<=|U|*|e^St|*|V|。由于U和V为单位阵，所以有|e^Ft|<=|e^St|。
S是对角阵，剩下的应该明白了吧。

|e^Ft|=|U*(e^St)*V|此式不成立的

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6楼2013-08-12 18:41:26

lipeng0327

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7楼2013-08-12 23:27:54

gaofeng79

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★
lipeng0327: 金币+1, ★有帮助, 利用级数展开时，UV~=I，只是化为约旦型可以， F=Q*J*inv(Q), J为约旦块 2013-08-13 16:45:33

引用回帖:

6楼: Originally posted by lipeng0327 at 2013-08-12 18:41:26
|e^Ft|=|U*(e^St)*V|此式不成立的...

请看一下自动控制原理里面关于状态方程求解和变换部分的内容。

赞一下(1人)

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8楼2013-08-13 16:03:44

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我的证明思路是这样的：
将F化为 F=P*J*inv(P), J为标准的约当块，P为F的广义特征向量组成的变换阵，e^Ft = P * M * inv(P)，M是可以直接由J列写的，M为上三角或下三角矩阵。以2范数为例来证明：
|| e^(Ft)|| = || P * M * inv(P)|| <=||P||*||M||*|| inv(P)||
因为||P||和|| inv(P)|| 为常数，
则  || e^(Ft)||<=k*||M||，此处 k = ||P||*|| inv(P)||
||M||=(max_ lambda(M*M'))^(1/2)  （此处lambda(.) 表示.的特征值）
而M*M'为正定对称阵，其所有的特征值都大于零，
所以有 max_ lambda(M*M')<trace(M*M'),  trace(.)表示方阵.的迹。
trace(M*M')< n*(M*M'的最大主对角元)，此处n为M*M'的维数。
M*M'的最大主对角元应该是（e^(bt))^2，此处b为F的所有特征值中具有的最大的负实部。
综合得到
|| e^(Ft)||<=k*||M||

=k*(max_ lambda(M*M'))^(1/2)
=k*(trace(M*M'))^(1/2)
<=k*(n*(M*M'的最大主对角元))^(1/2)
=k*n^(1/2)*e^(bt))
=m*e^(-alpha*t)    此处（m = k*n^(1/2), alpha = -b）

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9楼2013-08-13 17:13:01

lipeng0327

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我的结果可能很粗糙，应为下面的这一步缩放太大了
max_ lambda(M*M')<trace(M*M'), trace(.)表示方阵.的迹

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10楼2013-08-13 17:16:07