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8楼2013-08-13 16:03:44
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我的证明思路是这样的： 将F化为 F=P*J*inv(P), J为标准的约当块，P为F的广义特征向量组成的变换阵，e^Ft = P * M * inv(P)，M是可以直接由J列写的，M为上三角或下三角矩阵。以2范数为例来证明： || e^(Ft)|| = || P * M * inv(P)|| <=||P||*||M||*|| inv(P)|| 因为||P||和|| inv(P)|| 为常数， 则 || e^(Ft)||<=k*||M||，此处 k = ||P||*|| inv(P)|| ||M||=(max_ lambda(M*M'))^(1/2) （ 此处lambda(.) 表示.的特征值） 而M*M'为正定对称阵，其所有的特征值都大于零， 所以有 max_ lambda(M*M')<trace(M*M'), trace(.)表示方阵.的迹。 trace(M*M')< n*(M*M'的最大主对角元)，此处n为M*M'的维数。 M*M'的最大主对角元应该是（e^(bt))^2，此处b为F的所有特征值中具有的最大的负实部。 综合得到 || e^(Ft)||<=k*||M|| =k*(max_ lambda(M*M'))^(1/2) =k*(trace(M*M'))^(1/2) <=k*(n*(M*M'的最大主对角元))^(1/2) =k*n^(1/2)*e^(bt)) =m*e^(-alpha*t) 此处（m = k*n^(1/2), alpha = -b） |
9楼2013-08-13 17:13:01
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