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lipeng0327

木虫 (正式写手)

水手

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[求助] 线性系统问题求助

线性系统问题求助

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在绝望中寻找希望，人生终将辉煌。

1楼2013-08-11 13:41:12

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lipeng0327

木虫 (正式写手)

水手

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我的证明思路是这样的：
将F化为 F=P*J*inv(P), J为标准的约当块，P为F的广义特征向量组成的变换阵，e^Ft = P * M * inv(P)，M是可以直接由J列写的，M为上三角或下三角矩阵。以2范数为例来证明：
|| e^(Ft)|| = || P * M * inv(P)|| <=||P||*||M||*|| inv(P)||
因为||P||和|| inv(P)|| 为常数，
则  || e^(Ft)||<=k*||M||，此处 k = ||P||*|| inv(P)||
||M||=(max_ lambda(M*M'))^(1/2)  （此处lambda(.) 表示.的特征值）
而M*M'为正定对称阵，其所有的特征值都大于零，
所以有 max_ lambda(M*M')<trace(M*M'),  trace(.)表示方阵.的迹。
trace(M*M')< n*(M*M'的最大主对角元)，此处n为M*M'的维数。
M*M'的最大主对角元应该是（e^(bt))^2，此处b为F的所有特征值中具有的最大的负实部。
综合得到
|| e^(Ft)||<=k*||M||

=k*(max_ lambda(M*M'))^(1/2)
=k*(trace(M*M'))^(1/2)
<=k*(n*(M*M'的最大主对角元))^(1/2)
=k*n^(1/2)*e^(bt))
=m*e^(-alpha*t)    此处（m = k*n^(1/2), alpha = -b）