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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 运筹学与控制论 » 变分有几何意义吗？
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Quakerbird

至尊木虫 (知名作家)

[交流] 变分有几何意义吗？

本人是个数学的文盲和门外汉，这几天偶尔得知变分法这个东东，对于我来说过于高深莫测了，有没有简单直观的理解办法。

譬如，微分如果可以和导数视作为为一样的话，则是曲线的切线斜率，积分是曲线与坐标轴所围成的面积。那么，变分是个神马东东？可否有比较直观简单的理解方式？

金币有限，见谅。
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1楼 2013-05-09 03:22:11
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

lynzhung

铁虫 (小有名气)
变分原理简单例子，比如我要求2x+1=0的解，那么我就去求y=x^2+x的最小值。如果我把y称为能量的话，那么我们要求解的方程就是能量最小的点，称为临界点。
因为有hamilton作用原理，任何物理状态都会停留在能量最小的地方。（可能描述的不够精确）
变分原理就是通过求能量极值来求解方程解的方法
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12楼2013-05-09 09:59:00
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weft

木虫 (正式写手)
★ ★
Quakerbird(金币+1): 谢谢参与
Quakerbird: 金币+1 2013-05-09 07:02:42
变分, 微分, 积分, 虽然都有一个"分", 但不是你这么类比的. 粗略的说, 要把变分讲清楚, 需要用到泛函的概念. 很多几何和物理上的问题都与变分的临界点有关. 比如: 1. 欧式空间中为什么两点之间直线距离最短? 推广到一般的黎曼几何就是测地线问题. 2. 历史上的速降线问题. 3. 用铁丝做成的边框往肥皂液中蘸一下然后取出来, 肥皂膜的形状. 推广到一般情形就是极小曲面曲面问题.
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3楼2013-05-09 06:53:25
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普通回帖

gzl9901

铁杆木虫 (文坛精英)
★
Quakerbird(金币+1): 谢谢参与
科研加油！
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2楼2013-05-09 03:53:20
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Quakerbird

至尊木虫 (知名作家)
引用回帖:
3楼: Originally posted by weft at 2013-05-09 06:53:25
变分, 微分, 积分, 虽然都有一个"分", 但不是你这么类比的. 粗略的说, 要把变分讲清楚, 需要用到泛函的概念. 很多几何和物理上的问题都与变分的临界点有关. 比如: 1. 欧式空间中为什么两点之间直线距离最 ...

所以说很难理解啊，希望有一个比较直观的几何解释。可否这样理解，在某种空间中，寻找符合某种条件的一族曲线或曲面中最佳一个的相关方法学？这样没有类似微分、积分哪样直观的几何意义了。
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4楼2013-05-09 07:01:55
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whyhow

铁杆木虫 (著名写手)
★
Quakerbird(金币+1): 谢谢参与
看来不能通过技术流的方式让你理解了.

变分法的内容丰富, 可以算是微积分应用的高端部分, 应用非常广泛, 特别是几何问题.
建议你读一本书<<悭悭宇宙>>, 是著名数学家写的.

[ Last edited by whyhow on 2013-5-9 at 07:31 ]
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6楼2013-05-09 07:29:40
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lynzhung

铁虫 (小有名气)
★
Quakerbird(金币+1): 谢谢参与
亲，建议你去看一本变分方法的书，其实你可以找一个介绍有限元方法的书的前面的基本理论部分应该有对变分原理的详细的解说。
或者理论力学的后面也有相关的说明。关于几何意义，可能找不到你能看懂的。先看看吧！说实在的，你这个问题本身就没有意义。
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9楼2013-05-09 09:46:10
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895701777

木虫 (著名写手)
★
Quakerbird(金币+1): 谢谢参与
变分是有意义的，变分现在接触到的主要是凸泛函，就是变分的一种形式，偏微分方程中变分法源于极小位能原理，这是物理中的一个原理，详细的说明可以参见相关的书籍
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10楼2013-05-09 09:54:06
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895701777

木虫 (著名写手)
其实变分法求出的解一般不是原方程的古典解，只是一种弱解，但是在工程领域，没有分的这么详细，此时弱解就是古典解，所以一般用变分法求出的解与原方程的解等价
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11楼2013-05-09 09:56:04
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ghw_nit

铁杆木虫 (正式写手)
★
Quakerbird(金币+1): 谢谢参与
从你的问题里面我知道了，我不懂变分，因为有人说怎样判断你懂了某个知识呢，就是你能不能把这个知识给不懂这个知识的人讲清楚，如果能够讲清楚，就说明你真的懂了，从这个标准来看，对变分我是不懂的。
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13楼2013-05-09 10:39:03
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Quakerbird

至尊木虫 (知名作家)
引用回帖:
6楼: Originally posted by whyhow at 2013-05-09 07:29:40
看来不能通过技术流的方式让你理解了.

变分法的内容丰富, 可以算是微积分应用的高端部分, 应用非常广泛, 特别是几何问题.
建议你读一本书<<悭悭宇宙>>, 是著名数学家写的.
...

谢谢，以后有空找来看看。
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14楼2013-05-09 21:35:30
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Quakerbird

至尊木虫 (知名作家)
引用回帖:
12楼: Originally posted by lynzhung at 2013-05-09 09:59:00
变分原理简单例子，比如我要求2x+1=0的解，那么我就去求y=x^2+x的最小值。如果我把y称为能量的话，那么我们要求解的方程就是能量最小的点，称为临界点。
因为有hamilton作用原理，任何物理状态都会停留在能量最小的 ...

这么说，变分涉及到物理、哲学方面的问题，不仅仅是一个简单的几何问题，但确实很费解。
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15楼2013-05-09 22:51:41
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人走茶不凉

银虫 (职业作家)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
光学微积分还有线性代数了，对后来的有限元、变分法都没有学过，哎！
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16楼2013-05-10 08:37:08
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Quakerbird

至尊木虫 (知名作家)
引用回帖:
13楼: Originally posted by ghw_nit at 2013-05-09 10:39:03
从你的问题里面我知道了，我不懂变分，因为有人说怎样判断你懂了某个知识呢，就是你能不能把这个知识给不懂这个知识的人讲清楚，如果能够讲清楚，就说明你真的懂了，从这个标准来看，对变分我是不懂的。

非常赞同你的标准！真希望你能够让我这种门外汉可以懂得变分！
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17楼2013-05-10 09:39:24
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flyxu5楼
2013-05-09 07:03   回复  
Quakerbird(金币+1): 谢谢参与
Elsivier7楼
2013-05-09 08:49   回复  
Quakerbird(金币+1): 谢谢参与
yumoym8楼
2013-05-09 09:42   回复  
Quakerbird(金币+1): 谢谢参与
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