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Quakerbird

至尊木虫 (知名作家)

[交流] 变分有几何意义吗？

本人是个数学的文盲和门外汉，这几天偶尔得知变分法这个东东，对于我来说过于高深莫测了，有没有简单直观的理解办法。

譬如，微分如果可以和导数视作为为一样的话，则是曲线的切线斜率，积分是曲线与坐标轴所围成的面积。那么，变分是个神马东东？可否有比较直观简单的理解方式？

金币有限，见谅。
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1楼 2013-05-09 03:22:11
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lynzhung

铁虫 (小有名气)
变分原理简单例子，比如我要求2x+1=0的解，那么我就去求y=x^2+x的最小值。如果我把y称为能量的话，那么我们要求解的方程就是能量最小的点，称为临界点。
因为有hamilton作用原理，任何物理状态都会停留在能量最小的地方。（可能描述的不够精确）
变分原理就是通过求能量极值来求解方程解的方法
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12楼2013-05-09 09:59:00
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gzl9901

铁杆木虫 (文坛精英)
★
Quakerbird(金币+1): 谢谢参与
科研加油！
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2楼2013-05-09 03:53:20
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weft

木虫 (正式写手)
★ ★
Quakerbird(金币+1): 谢谢参与
Quakerbird: 金币+1 2013-05-09 07:02:42
变分, 微分, 积分, 虽然都有一个"分", 但不是你这么类比的. 粗略的说, 要把变分讲清楚, 需要用到泛函的概念. 很多几何和物理上的问题都与变分的临界点有关. 比如: 1. 欧式空间中为什么两点之间直线距离最短? 推广到一般的黎曼几何就是测地线问题. 2. 历史上的速降线问题. 3. 用铁丝做成的边框往肥皂液中蘸一下然后取出来, 肥皂膜的形状. 推广到一般情形就是极小曲面曲面问题.
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3楼2013-05-09 06:53:25
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Quakerbird

至尊木虫 (知名作家)
引用回帖:
3楼: Originally posted by weft at 2013-05-09 06:53:25
变分, 微分, 积分, 虽然都有一个"分", 但不是你这么类比的. 粗略的说, 要把变分讲清楚, 需要用到泛函的概念. 很多几何和物理上的问题都与变分的临界点有关. 比如: 1. 欧式空间中为什么两点之间直线距离最 ...

所以说很难理解啊，希望有一个比较直观的几何解释。可否这样理解，在某种空间中，寻找符合某种条件的一族曲线或曲面中最佳一个的相关方法学？这样没有类似微分、积分哪样直观的几何意义了。
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4楼2013-05-09 07:01:55
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