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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 运筹学与控制论 » 变分有几何意义吗？
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Quakerbird

至尊木虫 (知名作家)

[交流] 变分有几何意义吗？

本人是个数学的文盲和门外汉，这几天偶尔得知变分法这个东东，对于我来说过于高深莫测了，有没有简单直观的理解办法。

譬如，微分如果可以和导数视作为为一样的话，则是曲线的切线斜率，积分是曲线与坐标轴所围成的面积。那么，变分是个神马东东？可否有比较直观简单的理解方式？

金币有限，见谅。
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1楼 2013-05-09 03:22:11
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lynzhung

铁虫 (小有名气)
★
Quakerbird(金币+1): 谢谢参与
亲，建议你去看一本变分方法的书，其实你可以找一个介绍有限元方法的书的前面的基本理论部分应该有对变分原理的详细的解说。
或者理论力学的后面也有相关的说明。关于几何意义，可能找不到你能看懂的。先看看吧！说实在的，你这个问题本身就没有意义。
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9楼2013-05-09 09:46:10
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gzl9901

铁杆木虫 (文坛精英)
★
Quakerbird(金币+1): 谢谢参与
科研加油！
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2楼2013-05-09 03:53:20
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weft

木虫 (正式写手)
★ ★
Quakerbird(金币+1): 谢谢参与
Quakerbird: 金币+1 2013-05-09 07:02:42
变分, 微分, 积分, 虽然都有一个"分", 但不是你这么类比的. 粗略的说, 要把变分讲清楚, 需要用到泛函的概念. 很多几何和物理上的问题都与变分的临界点有关. 比如: 1. 欧式空间中为什么两点之间直线距离最短? 推广到一般的黎曼几何就是测地线问题. 2. 历史上的速降线问题. 3. 用铁丝做成的边框往肥皂液中蘸一下然后取出来, 肥皂膜的形状. 推广到一般情形就是极小曲面曲面问题.
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3楼2013-05-09 06:53:25
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Quakerbird

至尊木虫 (知名作家)
引用回帖:
3楼: Originally posted by weft at 2013-05-09 06:53:25
变分, 微分, 积分, 虽然都有一个"分", 但不是你这么类比的. 粗略的说, 要把变分讲清楚, 需要用到泛函的概念. 很多几何和物理上的问题都与变分的临界点有关. 比如: 1. 欧式空间中为什么两点之间直线距离最 ...

所以说很难理解啊，希望有一个比较直观的几何解释。可否这样理解，在某种空间中，寻找符合某种条件的一族曲线或曲面中最佳一个的相关方法学？这样没有类似微分、积分哪样直观的几何意义了。
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4楼2013-05-09 07:01:55
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