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ColonelG

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[求助] 求助一个坐标变换问题

看到文献中的坐标变换问题，如图片中所示，其中Fo是时间的函数。一直没搞懂9式是怎么得出的，请高手帮忙分析一下！

1.jpg

2.jpg

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1楼 2013-03-17 16:18:06

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weft

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
ColonelG: 金币+10, ★★★很有帮助, 谢谢回复! 2013-03-19 10:53:52

是比较奇怪，按照求偏导数的chain rule，（9）式等号右边的 ${-\frac{\eta}{R-1}}$ 应该是 ${\frac{\partial \eta}{\partial Fo}}$ ，但你已经交代 ${\eta,\ Fo}$ 是自变量，这个偏导数应该是0才对。问题是我顺便检查了一下（12）式，又确确实实是从（9）式导出来的，似乎佐证了（9）式不应该有错。
我有两个问题顺便问一下：
1.你提到 ${Fo}$ 是时间t的函数，如此一来，t也可以是 ${Fo}$ 的反函数（如果有一定的单调性的话），进而 ${\eta}$ 作为t的函数也就是 ${Fo}$ 的函数了，这与 ${\eta,\ Fo}$ 作为自变量应该是独立的是不是矛盾了？

2.边界条件（7）中的 ${r=R}$ ，和下面提到的计算区域中的 ${r=R(t)}$ ，这两个地方的R是同一个吗？如果是同一个，那R到底是常数还是t的函数？

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3楼2013-03-19 02:51:35

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笑母宠

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★
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ColonelG: 金币+1 2013-03-17 19:19:42
soliton923: 应助指数-1, 学科版没有沙发不要灌水~~~~ 2013-03-17 21:53:29

我是抢沙发，消灭零回复。才进数学系真心不懂

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

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哈哈

2楼2013-03-17 17:18:52

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ColonelG

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引用回帖:

3楼: Originally posted by weft at 2013-03-19 02:51:35
是比较奇怪，按照求偏导数的chain rule，（9）式等号右边的{-\frac{\eta}{R-1}}应该是{\frac{\partial \eta}{\partial Fo}}，但你已经交代{\eta,\ Fo}是自变量，这个偏导数应该是0才对。问题是我顺便检查了一下（12 ...

后来发现他这个文献中的推导是有问题的，不符合链式法则。
（9）式第一项，原文乘掉了一个dR/dF0，
你看看是不是？
他的（12)式由此也是错误的。
你的两个问题，eta,和F0是两个独立的变量，他们都是时间的函数。
边界条件（7）中的R(t)，他是随时间变化的。它表示圆环的外界面，是变化的，内界面r=1是固定的。原问题是一个关于冰的融化的移动界面问题。

非常感谢你的思考！

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4楼2013-03-19 10:59:34

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weft

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
ColonelG: 金币+9, ★★★★★最佳答案, 谢谢参与讨论！ 2013-03-20 11:02:18

引用回帖:

4楼: Originally posted by ColonelG at 2013-03-19 10:59:34
后来发现他这个文献中的推导是有问题的，不符合链式法则。
（9）式第一项，原文乘掉了一个dR/dF0，
你看看是不是？
他的（12)式由此也是错误的。
你的两个问题，eta,和F0是两个独立的变量，他们都是时间的函数 ...

哦，了解了。
你说的没错，（9）式第一项前面的系数按照chain rule应该是 ${\frac{\partial \eta}{\partial Fo}}$ ，对这个偏导数再用一次chain rule就应该等于 ${\farc{\partial \eta}{\partial R} \frac{d R}{d Fo}}$ ，前者就是现在（9）式中的 ${- \frac{\eta}{R-1}}$ ，而后者恰好可以利用文献中的（6）式，如此看来确确实实是丢掉了一个 ${\frac{d R}{d Fo}}$ 。由此导致（12）也是错的，但是文献中从（9）式到（12）式倒是自洽的，看来根本的错误还是（9）式。

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5楼2013-03-20 01:19:33

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