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请教一下拓扑和收敛的关系
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| 念《实分析》有一句话很不理解“设B是一个Banach空间，B*是它的对偶空间。B中使所有L属于B*都连续的最弱拓扑称为B中的弱拓扑。B中序列｛x_n｝在弱拓扑下的收敛就称为｛x_n｝的弱收敛”，怎么理解在某种拓扑下的收敛呢？如果按照弱收敛的定义，要是｛x_n｝弱收敛，只需要数列Lx_n收敛到Lx就可以了啊，为什么会跟拓扑有关系呢？请高手赐教啊，实在是觉得很难理解 |
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拓扑与收敛在本质上是等价的。定义了一个空间X的拓扑，即定义了该空间中的开集和闭集，我们就可以定义X中的收敛关系，这个很好理解。 另外，给出了空间X中的收敛关系，即告诉我们xn如何才算收敛到x，那么本质上也给出了空间X上的一个拓扑。为什么这么说？我们知道X上的拓扑实质上是开集或闭集的定义方式，我们用空间X中已经定义的收敛关系“还原”X中的拓扑：A是X的子集，A是闭集当且仅当A中任意收敛的序列收敛到A中的点。这样我们得到X中的所有闭集从而得到开集，简单验证一下可知，这种定义的闭集全体给出了空间X的一个拓扑。 所以说，拓扑有什么用呢？拓扑本质上就是给出收敛的方式：一种类型的拓扑给出唯一的一种收敛规则，而通过这个收敛规则，我们可以“还原”这个拓扑。同时，如果两个拓扑给出同一种收敛规则，那么这两个拓扑实质上是一种拓扑。 |
10楼2012-08-05 16:03:04
