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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 请教一下拓扑和收敛的关系
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cocomwen

金虫 (小有名气)

[求助] 请教一下拓扑和收敛的关系

念《实分析》有一句话很不理解“设B是一个Banach空间，B*是它的对偶空间。B中使所有L属于B*都连续的最弱拓扑称为B中的弱拓扑。B中序列｛x_n｝在弱拓扑下的收敛就称为｛x_n｝的弱收敛”，怎么理解在某种拓扑下的收敛呢？如果按照弱收敛的定义，要是｛x_n｝弱收敛，只需要数列Lx_n收敛到Lx就可以了啊，为什么会跟拓扑有关系呢？请高手赐教啊，实在是觉得很难理解
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1楼2012-06-27 16:14:24
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
小雨萌萌: 金币+1, 谢谢哦~ 2012-06-30 20:57:22
你先回忆一下定义，x_n 收敛于x 的一种定义 为x的任何领域包含几乎所有的x_n. 这里面的 领域 就是拓扑啊。
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2楼2012-06-27 17:18:06
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cocomwen

金虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by sskkyy at 2012-06-27 17:18:06
你先回忆一下定义，x_n 收敛于x 的一种定义 为x的任何领域包含几乎所有的x_n. 这里面的 领域 就是拓扑啊。

那么这里最弱拓扑又该怎么理解呢，印象中拓扑不是指满足公里的子集族么，还是想不明白，那是不是在Banach空间B上可以定义很多种拓扑，每种拓扑下都能定义不同的收敛呢？麻烦再给说详细点好吗
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3楼2012-06-27 22:03:50
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★
小雨萌萌: 金币+2, 3Q~ 2012-06-30 20:57:34
引用回帖:
3楼: Originally posted by cocomwen at 2012-06-27 22:03:50
那么这里最弱拓扑又该怎么理解呢，印象中拓扑不是指满足公里的子集族么，还是想不明白，那是不是在Banach空间B上可以定义很多种拓扑，每种拓扑下都能定义不同的收敛呢？麻烦再给说详细点好吗...

对，Banach空间B上可以定义很多种拓扑，比如希尔伯特空间H的所有有界算子B(H)通常的拓扑就有：算子拓扑，弱算子，sigma算子拓扑等等。对于你这种弱拓扑是这么定义的: 开集是所有形如f^{-1}(U) （f在B*中，U是复数C的开集）的有限交和无限并。这是使得所有f: B ---> C 连续（开集的原像是开集）最弱的拓扑了。
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4楼2012-06-27 22:28:48
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whyhow

铁杆木虫 (著名写手)

带你飞翔

【答案】应助回帖

★
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小雨萌萌: 金币+1, 谢谢哦~ 2012-06-30 20:57:45
收敛性质仅仅是连续性质的推论，而连续的本质是拓扑性质
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青春有千万种，却没有一种可以重来
5楼2012-06-28 08:51:00
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cocomwen

金虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by whyhow at 2012-06-28 08:51:00
收敛性质仅仅是连续性质的推论，而连续的本质是拓扑性质

“连续的本质是拓扑性质”这个有点不明白，给定一个空间X，是不是在上面定义的拓扑不同，得到的连续也不一样呢？能不能给举几个例子呀，谢谢啦
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6楼2012-06-28 20:30:39
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whyhow

铁杆木虫 (著名写手)

带你飞翔

【答案】应助回帖

引用回帖:
6楼: Originally posted by cocomwen at 2012-06-28 20:30:39
“连续的本质是拓扑性质”这个有点不明白，给定一个空间X，是不是在上面定义的拓扑不同，得到的连续也不一样呢？能不能给举几个例子呀，谢谢啦...

是这样的。

你问的问题就是这样的例子。更具体的例子这里不太好写，建议你随便找本点集拓扑的书看看前面就可以了。
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青春有千万种，却没有一种可以重来
7楼2012-06-28 21:12:14
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★
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小雨萌萌: 金币+2, 谢谢哦~ 2012-06-30 20:57:56
简单说一点，仅供lz参考，不对的话请多多包涵。
收敛通常与度量联系在一起，有度量就有收敛，但随着研究的深入，发现不要度量也能定义收敛（连续），即只要有开集的概念就可以定义收敛（连续），而开集是属于拓扑的范畴。
而抽象空间的开集是一种公理化定义，只要满足公理化条件的子集类中的集合就可以称为开集。在不同的开集类下，对应各种收敛（连续），这些收敛（连续）的实际含义就不一样了。
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8楼2012-06-29 23:00:47
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人民海军

木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★
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小雨萌萌: 金币+1, 谢谢关注~ 2012-06-30 20:58:08
拓扑空间，简单的不精确的说就是定义了开集和闭集的集合
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Letbygonesbebygones.
9楼2012-06-30 14:05:53
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木子化十文武

金虫 (小有名气)
拓扑与收敛在本质上是等价的。定义了一个空间X的拓扑，即定义了该空间中的开集和闭集，我们就可以定义X中的收敛关系，这个很好理解。
另外，给出了空间X中的收敛关系，即告诉我们xn如何才算收敛到x，那么本质上也给出了空间X上的一个拓扑。为什么这么说？我们知道X上的拓扑实质上是开集或闭集的定义方式，我们用空间X中已经定义的收敛关系“还原”X中的拓扑：A是X的子集，A是闭集当且仅当A中任意收敛的序列收敛到A中的点。这样我们得到X中的所有闭集从而得到开集，简单验证一下可知，这种定义的闭集全体给出了空间X的一个拓扑。
所以说，拓扑有什么用呢？拓扑本质上就是给出收敛的方式：一种类型的拓扑给出唯一的一种收敛规则，而通过这个收敛规则，我们可以“还原”这个拓扑。同时，如果两个拓扑给出同一种收敛规则，那么这两个拓扑实质上是一种拓扑。
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平和！谦逊！
10楼2012-08-05 16:03:04
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