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cocomwen

金虫 (小有名气)

[求助] 请教一下拓扑和收敛的关系

念《实分析》有一句话很不理解“设B是一个Banach空间,B*是它的对偶空间。B中使所有L属于B*都连续的最弱拓扑称为B中的弱拓扑。B中序列{x_n}在弱拓扑下的收敛就称为{x_n}的弱收敛”,怎么理解在某种拓扑下的收敛呢?如果按照弱收敛的定义,要是{x_n}弱收敛,只需要数列Lx_n收敛到Lx就可以了啊,为什么会跟拓扑有关系呢?请高手赐教啊,实在是觉得很难理解
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与,应助指数 +1
小雨萌萌: 金币+2, 谢谢哦~ 2012-06-30 20:57:56
简单说一点,仅供lz参考,不对的话请多多包涵。
收敛通常与度量联系在一起,有度量就有收敛,但随着研究的深入,发现不要度量也能定义收敛(连续),即只要有开集的概念就可以定义收敛(连续),而开集是属于拓扑的范畴。
而抽象空间的开集是一种公理化定义,只要满足公理化条件的子集类中的集合就可以称为开集。在不同的开集类下,对应各种收敛(连续),这些收敛(连续)的实际含义就不一样了。
8楼2012-06-29 23:00:47
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖


感谢参与,应助指数 +1
小雨萌萌: 金币+1, 谢谢哦~ 2012-06-30 20:57:22
你先回忆一下定义,x_n 收敛于x 的一种定义 为x的任何领域包含几乎所有的x_n. 这里面的 领域 就是拓扑啊。
2楼2012-06-27 17:18:06
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cocomwen

金虫 (小有名气)

引用回帖:
2楼: Originally posted by sskkyy at 2012-06-27 17:18:06
你先回忆一下定义,x_n 收敛于x 的一种定义 为x的任何领域包含几乎所有的x_n. 这里面的 领域 就是拓扑啊。

那么这里最弱拓扑又该怎么理解呢,印象中拓扑不是指满足公里的子集族么,还是想不明白,那是不是在Banach空间B上可以定义很多种拓扑,每种拓扑下都能定义不同的收敛呢?麻烦再给说详细点好吗
3楼2012-06-27 22:03:50
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★
小雨萌萌: 金币+2, 3Q~ 2012-06-30 20:57:34
引用回帖:
3楼: Originally posted by cocomwen at 2012-06-27 22:03:50
那么这里最弱拓扑又该怎么理解呢,印象中拓扑不是指满足公里的子集族么,还是想不明白,那是不是在Banach空间B上可以定义很多种拓扑,每种拓扑下都能定义不同的收敛呢?麻烦再给说详细点好吗...

对,Banach空间B上可以定义很多种拓扑,比如希尔伯特空间H的所有有界算子B(H)通常的拓扑就有:算子拓扑,弱算子,sigma算子拓扑等等。对于你这种弱拓扑是这么定义的: 开集是所有形如f^{-1}(U) (f在B*中,U是复数C的开集)的有限交和无限并。这是使得所有f: B ---> C 连续(开集的原像是开集)最弱的拓扑了。
4楼2012-06-27 22:28:48
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