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cocomwen

金虫 (小有名气)

[求助] 请教一下拓扑和收敛的关系

念《实分析》有一句话很不理解“设B是一个Banach空间,B*是它的对偶空间。B中使所有L属于B*都连续的最弱拓扑称为B中的弱拓扑。B中序列{x_n}在弱拓扑下的收敛就称为{x_n}的弱收敛”,怎么理解在某种拓扑下的收敛呢?如果按照弱收敛的定义,要是{x_n}弱收敛,只需要数列Lx_n收敛到Lx就可以了啊,为什么会跟拓扑有关系呢?请高手赐教啊,实在是觉得很难理解
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whyhow

铁杆木虫 (著名写手)

带你飞翔

【答案】应助回帖

引用回帖:
6楼: Originally posted by cocomwen at 2012-06-28 20:30:39
“连续的本质是拓扑性质”这个有点不明白,给定一个空间X,是不是在上面定义的拓扑不同,得到的连续也不一样呢?能不能给举几个例子呀,谢谢啦...

是这样的。

你问的问题就是这样的例子。更具体的例子这里不太好写,建议你随便找本点集拓扑的书看看前面就可以了。
青春有千万种,却没有一种可以重来
7楼2012-06-28 21:12:14
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖


感谢参与,应助指数 +1
小雨萌萌: 金币+1, 谢谢哦~ 2012-06-30 20:57:22
你先回忆一下定义,x_n 收敛于x 的一种定义 为x的任何领域包含几乎所有的x_n. 这里面的 领域 就是拓扑啊。
2楼2012-06-27 17:18:06
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cocomwen

金虫 (小有名气)

引用回帖:
2楼: Originally posted by sskkyy at 2012-06-27 17:18:06
你先回忆一下定义,x_n 收敛于x 的一种定义 为x的任何领域包含几乎所有的x_n. 这里面的 领域 就是拓扑啊。

那么这里最弱拓扑又该怎么理解呢,印象中拓扑不是指满足公里的子集族么,还是想不明白,那是不是在Banach空间B上可以定义很多种拓扑,每种拓扑下都能定义不同的收敛呢?麻烦再给说详细点好吗
3楼2012-06-27 22:03:50
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★
小雨萌萌: 金币+2, 3Q~ 2012-06-30 20:57:34
引用回帖:
3楼: Originally posted by cocomwen at 2012-06-27 22:03:50
那么这里最弱拓扑又该怎么理解呢,印象中拓扑不是指满足公里的子集族么,还是想不明白,那是不是在Banach空间B上可以定义很多种拓扑,每种拓扑下都能定义不同的收敛呢?麻烦再给说详细点好吗...

对,Banach空间B上可以定义很多种拓扑,比如希尔伯特空间H的所有有界算子B(H)通常的拓扑就有:算子拓扑,弱算子,sigma算子拓扑等等。对于你这种弱拓扑是这么定义的: 开集是所有形如f^{-1}(U) (f在B*中,U是复数C的开集)的有限交和无限并。这是使得所有f: B ---> C 连续(开集的原像是开集)最弱的拓扑了。
4楼2012-06-27 22:28:48
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