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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 满足一定条件（极小值）的函数的构造，请高手帮忙！谢谢
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小兰花

银虫 (著名写手)

[求助] 满足一定条件（极小值）的函数的构造，请高手帮忙！谢谢

题意 和 所请教的 问题 见 附图。

非常感激数学高手 帮忙解答！
祝大家新年快乐、幸福！
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1楼 2012-01-17 23:06:56
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begtostudy

金虫 (正式写手)

Dr. 白途思
感谢参与，应助指数 +1
soliton923(应助指数-1): 2012-01-18 17:16:41
求函数的问题是不是要用泛函分析？
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2楼2012-01-17 23:39:48
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cars

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
小兰花(金币+20): ★★★很有帮助 非常感激。设计得很巧妙！很抱歉，我之前的题意没有表达的很清楚。现在从新表达一下。见下面附图：“题意与问题 （修正后）.jpg”。 麻烦您再帮设计一下。非常感激。祝新年快乐、幸福！ 2012-01-18 10:56:19
小兰花(金币+1): cars ，这样设计是不错的。但题意要求1中，要求整个 函数只要唯一的一个极小值，无极大值。 上述构造中 没有包含 “无极大值”的条件。 再次感谢。 2012-01-18 11:49:22
这个有很多解，你如果只要构造其中一个，可以试试。
假设f的二阶导连续，
则1)转为要求f''(x)>0，f'(0)=0;
则2)转为f'(0.25)=12.875,f'(0.75)=25.75,且只要满足1）则满足最小值的要求。
可以直接先求f的一阶导，为表示方便用df表示f'。
则df'>0，因此用几个导数大于0的函数设三个末知数
如设df=ge^x+hx+k,
则g=12.875/[3e^0.25-e^0.75-2]
h=51.5*[2e^0.25-e^0.75-1]/[3e^0.25-e^0.75-2]
k=-g;
因此,
f=ge^x+h/2*x^2+kx满足你说的要求。
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3楼2012-01-18 09:16:46
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小兰花

银虫 (著名写手)
小兰花: 回帖置顶 2012-01-18 11:13:34
非常感谢cars的帮忙！设计得很巧妙！

很抱歉，我之前的题意没有表达的很清楚。现在从新表达一下。见下面附图：“题意与问题 （修正后）.jpg”

还请您再帮忙 构造。非常感谢！
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4楼2012-01-18 10:51:28
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小兰花

银虫 (著名写手)
小兰花: 回帖置顶 2012-01-18 11:13:30
题意与问题 （修正后）
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5楼2012-01-18 10:53:09
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cars

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★
小兰花(金币+10): 非常感谢。等你把”再改改“的结果发上了，我再继续发金币。 如果能把满足W(a)=W(b) 的函数构造出来，就太感谢了。我很需要这个结果。虽然金币不足以表示感谢之情，但我还是会想办法再挣些金币，好追加金币。 再次感谢！ 2012-01-18 14:29:29
soliton923(金币+2): 谢谢参与讨论~~~ 2012-01-18 17:16:28
不好意思，前面弄错了一点，这回改一下。
则1)转为要求f''(x)>0（这是二阶导大于0，有这点可以满足没有最大值且只有一个最小值），f'(0)=0;
则2)转为f'(0.25)=12.875,f'(0.75)=25.75,且只要满足1）则满足最小值的要求。
可以直接先求f的一阶导，为表示方便用df表示f'。
则df'>0，因此用几个导数大于0的函数组合，但要求其加权系数要大于0，（前面就是漏了这点）。

如设df=g(e^(kx)-1),（g>0）满足f'(0)=0;只要用另外两条求g和k就行.
注意到exp(0.75k)=exp(0.25k)^3.使用符号T=exp(0.25k)
两方程为
g(T-1)=12.875,g(T^3-1)=25.75
得
T^3-2T-3=0;
其实数解为 t=[1.5+sqrt(211/108)]^(1/3)+[1.5-sqrt(211/108)]^(1/3)
近似为1.893
g=12.875/(T-1)=14.4（g>0，结果可用）
k=ln(t)/0.25=2.55
因此，
f=g/k*exp(kx)-gx满足要求。

如要求W(a)=W(b)，即f(a)=f(b)还得再考虑
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6楼2012-01-18 13:56:28
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cars

金虫 (小有名气)
前面f'(0.75)求错，我再改改
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7楼2012-01-18 14:10:15
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cars

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

小兰花(金币+16): ★★★很有帮助 非常感谢。思路很好，很巧妙。但我用你提供的公式，用matlab画图，没有得到题意中的结果。我正在检查你的推导过程。 如果你有空的话，也帮我核对一下。 谢谢。 2012-01-18 15:47:24
小兰花(金币+2): cars ，您好。我已经把计算中的小错误找出来了，见 下面的附图。 构造的函数满足第2个条件，但第1个条件不满意。该如果修正呢。 多次麻烦你，真抱歉。非常感谢你的耐心。 2012-01-18 16:49:28
小兰花(金币+23): ★★★很有帮助 非常感谢耐心讲解和分析。我再仔细分析一下，看是否存在 同时满足这两个这两个条件的函数。 祝福你新年快乐，事事顺心！ 2012-01-18 22:19:11
小兰花(金币+50): ★★★很有帮助 非常感谢。祝龙年大吉，一切顺利。 2012-02-03 09:10:07
前面弄复杂了，重来，抱歉
注意到W(a)＝W(b)等于f(a)=f(b)。
f'(a)=12.875,f'(b)=-f'(a)=12.875。
W''>0等于f''(0)>-51.5。
由几个已知转为如下要求
1)转为要求f''(x)>－51.5。
2)f'(0)=0;f'(0.25)=12.875,f'(0.75)=-f(0.25)
3)f(0.25)=f(0.75)

由1）和2）可以看出3次方程有可能满足要求
由对称性
df=g(x-0.5)^3+h(x-0.5) (g>0)
可以满足df(0.25)=-df(0.75),f(0.25)=f(0.75)的要求（关于0.5对称）
同时，可以满足df(0)=0的要求。
用df(0.25)=12.875，可以得出
g=824-16h。
只要满足此式的g>0的值均可满足你的要求。
例h=0,g=824
f=206(x-1/2)^4,df=824(x-1/2)^3可满足你的要求。
希望这次没错。
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8楼2012-01-18 14:43:58
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小兰花

银虫 (著名写手)
非常感激cars 的耐心推导。函数构造很巧妙。计算中可能有点小错误，修改如下：并得到函数图像。见附图。

从 函数图像可以看出。当δ=1 时，满足题意，当δ=0时，不满足题意。
该如何修正，才可以同时满足题意呢？ 还请 cars 等 数学高手 来解答。 非常感谢。

计算中可能有点小错误，修改如下：
df=g(x-0.5)^3+h(x-0.5) (g>0)   
可以满足df(0.25)=-df(0.75),f(0.25)=f(0.75)的要求（关于0.5对称）
      
(1)、要满足 df(0)=0 的要求
代人df的表达式中，有
   g(0-0.5)^3+h(0-0.5)=0
即  g=-4h.

(2)、用df(0.25)=12.875，可以得出
g(0.25-0.5)^3+h(0.25-0.5) = 12.875

即   g=-824-16h
联立 上面两个g的 等式，得
g=824/3
h=-206/3
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9楼2012-01-18 16:46:19
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小兰花

银虫 (著名写手)
附图说明。
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10楼2012-01-18 17:00:12
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