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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 满足一定条件（极小值）的函数的构造，请高手帮忙！谢谢
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小兰花

银虫 (著名写手)

[求助] 满足一定条件（极小值）的函数的构造，请高手帮忙！谢谢

题意 和 所请教的 问题 见 附图。

非常感激数学高手 帮忙解答！
祝大家新年快乐、幸福！
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1楼 2012-01-17 23:06:56
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cars

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★
小兰花(金币+10): 非常感谢。等你把”再改改“的结果发上了，我再继续发金币。 如果能把满足W(a)=W(b) 的函数构造出来，就太感谢了。我很需要这个结果。虽然金币不足以表示感谢之情，但我还是会想办法再挣些金币，好追加金币。 再次感谢！ 2012-01-18 14:29:29
soliton923(金币+2): 谢谢参与讨论~~~ 2012-01-18 17:16:28
不好意思，前面弄错了一点，这回改一下。
则1)转为要求f''(x)>0（这是二阶导大于0，有这点可以满足没有最大值且只有一个最小值），f'(0)=0;
则2)转为f'(0.25)=12.875,f'(0.75)=25.75,且只要满足1）则满足最小值的要求。
可以直接先求f的一阶导，为表示方便用df表示f'。
则df'>0，因此用几个导数大于0的函数组合，但要求其加权系数要大于0，（前面就是漏了这点）。

如设df=g(e^(kx)-1),（g>0）满足f'(0)=0;只要用另外两条求g和k就行.
注意到exp(0.75k)=exp(0.25k)^3.使用符号T=exp(0.25k)
两方程为
g(T-1)=12.875,g(T^3-1)=25.75
得
T^3-2T-3=0;
其实数解为 t=[1.5+sqrt(211/108)]^(1/3)+[1.5-sqrt(211/108)]^(1/3)
近似为1.893
g=12.875/(T-1)=14.4（g>0，结果可用）
k=ln(t)/0.25=2.55
因此，
f=g/k*exp(kx)-gx满足要求。

如要求W(a)=W(b)，即f(a)=f(b)还得再考虑
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6楼2012-01-18 13:56:28
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begtostudy

金虫 (正式写手)

Dr. 白途思
感谢参与，应助指数 +1
soliton923(应助指数-1): 2012-01-18 17:16:41
求函数的问题是不是要用泛函分析？
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2楼2012-01-17 23:39:48
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cars

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
小兰花(金币+20): ★★★很有帮助 非常感激。设计得很巧妙！很抱歉，我之前的题意没有表达的很清楚。现在从新表达一下。见下面附图：“题意与问题 （修正后）.jpg”。 麻烦您再帮设计一下。非常感激。祝新年快乐、幸福！ 2012-01-18 10:56:19
小兰花(金币+1): cars ，这样设计是不错的。但题意要求1中，要求整个 函数只要唯一的一个极小值，无极大值。 上述构造中 没有包含 “无极大值”的条件。 再次感谢。 2012-01-18 11:49:22
这个有很多解，你如果只要构造其中一个，可以试试。
假设f的二阶导连续，
则1)转为要求f''(x)>0，f'(0)=0;
则2)转为f'(0.25)=12.875,f'(0.75)=25.75,且只要满足1）则满足最小值的要求。
可以直接先求f的一阶导，为表示方便用df表示f'。
则df'>0，因此用几个导数大于0的函数设三个末知数
如设df=ge^x+hx+k,
则g=12.875/[3e^0.25-e^0.75-2]
h=51.5*[2e^0.25-e^0.75-1]/[3e^0.25-e^0.75-2]
k=-g;
因此,
f=ge^x+h/2*x^2+kx满足你说的要求。
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3楼2012-01-18 09:16:46
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小兰花

银虫 (著名写手)
小兰花: 回帖置顶 2012-01-18 11:13:34
非常感谢cars的帮忙！设计得很巧妙！

很抱歉，我之前的题意没有表达的很清楚。现在从新表达一下。见下面附图：“题意与问题 （修正后）.jpg”

还请您再帮忙 构造。非常感谢！
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4楼2012-01-18 10:51:28
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