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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 计算模拟区 » 程序语言 » 其它 » Euler 工程 第十五题：从左上角到右下角有多少条路？
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holmescn

金虫 (正式写手)

[交流] Euler 工程 第十五题：从左上角到右下角有多少条路？ 已有4人参与

哈哈，题目越来越有意思了。下面这个题是个排列组合的题目。当然，不用那东西 也能解出来。大家来玩玩吧！

说有一个2x2的格子，从左上角到右下角有6条可行的路线（要求不要回头）如图：



那么一个20x20的格子有多少条路线呢？

记得，不只可以写代码，还可以做分析。大家一起来玩吧！

[ Last edited by holmescn on 2011-5-22 at 20:40 ]
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1楼 2011-05-22 20:37:06
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sudo

木虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
余泽成(金币+3): 辛苦了！ 2011-05-23 19:23:33
引用回帖:
Originally posted by huycwork at 2011-05-22 22:41:39:
点A(n, n)的通道数是A(n-1, n)和A(n, n-1)条数之和，即A(n, n) = A(n-1, n)+A(n, n-1)。这个题目就是咱曾经做过的f(m, n) = f(m-1, n) + f(m, n-1)的题目，只是初始条件是f(1, n) = 1，f(m, 1) = 1。
不过，这个 ...

2楼应该得程序强帖啊~！数学解最美~

我再详细补充解释一下吧：

格子数m行n列的时候，所谓的从左上角到右下角的路线，需要且仅仅需要经过m+n条线段（否则走的就是“弯路”），其中n条是横线段，m条是竖线段，而且，如果能确定哪几步经过的是横线段，那么另外的步骤必然走的是竖线段，故所有组合数为

C(m+n, m) 或者 C(m+n, n)

对于题目中的行列格子数相等的情况，答案简化为C(2n, n)

对于20x20的格子，路线总数为C(40, 20)

再形象一点说明，以1楼2x2的格子为例，起点到终点，经过的线段数为4条，其中2条横线段，2条竖线段，那么组合可以为：

横，横，竖，竖
横，竖，横，竖
横，竖，竖，横
竖，横，横，竖
竖，横，竖，横
竖，竖，横，横

一共为C(4, 2)=(4*3)/(2*1)=6种走法~

PS：囧，刚才没看见3楼，上面当我什么都没说吧.....

[ Last edited by sudo on 2011-5-23 at 13:51 ]
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5楼2011-05-23 13:47:02
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huycwork

金虫 (著名写手)
★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
余泽成(金币+2): 谢谢参与交流！ 2011-05-22 23:33:29
点A(n, n)的通道数是A(n-1, n)和A(n, n-1)条数之和，即A(n, n) = A(n-1, n)+A(n, n-1)。这个题目就是咱曾经做过的f(m, n) = f(m-1, n) + f(m, n-1)的题目，只是初始条件是f(1, n) = 1，f(m, 1) = 1。
不过，这个题是传说中的高考题，题解为m+n里面选出m或n条边的组合数C(m+n)m。
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漩涡的中心有一块空地，空空的。
2楼2011-05-22 22:41:39
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huycwork

金虫 (著名写手)
★ ★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
余泽成(金币+3, 程序强帖+1): 鼓励交流！ 2011-05-22 23:34:32
C++实现的各种解法：
CODE:
#include
enum {BUFSZ = 20};
//迭代f(m, n) = f(m, n-1)+f(m-1, n)的版本
double eular15(int m = 20, int n = 20){
        if(m < n){
                std::swap(m, n);
        }
        double buf[BUFSZ];
        for(int i = 0; i < BUFSZ; ++i)
                buf[i] = 1;
        for(int i = 0; i < n; ++i){
                buf[i] += buf[i];
                for(int j = i; j < m - 1; ++j){
                        buf[j+1] = buf[j] + buf[j+1];
                }
        }
        return buf[m-1];
}
//组合数直接计算版本，m+n里面选出m个和选出n个是一样的
double _eular15(int m = 20, int n = 20){
        double r1 = 1, r2 = 1;
        for(int i =  n + 1; i <= m+n; ++i){
                r1 *= i;
        }
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
                r2 *= i;
        }
        return r1/r2;
}
int main(){
         std::cout<          std::cout<<_eular15()< }
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漩涡的中心有一块空地，空空的。
3楼2011-05-22 22:48:27
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libralibra

至尊木虫 (著名写手)

骠骑将军
★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
jjdg(金币+2): 辛苦了 2011-05-23 01:32:29
余泽成(程序强帖+1): 2011-05-23 19:22:42
分析,所有到a点的方法是"到b点方法+到c点方法之和"
递归分析回去发现,这正是matlab中的pascal矩阵


于是我偷懒了

matlab code
CODE:
%% How many routes are there through a 20×20 grid?
function result = euler15()
tic;
a = pascal(21);
result = a(end,end);
toc;
end

结果+时间
CODE:
% Elapsed time is 0.008664 seconds.
% ans =
%               137846528820

[ Last edited by libralibra on 2011-5-23 at 00:21 ]
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matlab/VB/python/c++/Java写程序请发QQ邮件:790404545@qq.com
4楼2011-05-23 00:19:06
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