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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】请教二阶微分方程的特解（含初始条件）
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arisun8818

金虫 (小有名气)

[交流] 【求助】请教二阶微分方程的特解（含初始条件） 已有4人参与

方程
y''-a1*y^0.5+a2/y^(0.5)=0（如果解不出的话，请虫友们考虑y''-a*y^0.5=0是否可以解出）

其中
y'' 是y的二阶导数
a1，a2是常数
y^0.5是y的平方根

初始条件是
y(x=0)=b
一阶导数y'(x=d)=0


注：
1. 如果初始条件一阶导数y'(x=d)=0中，d也是0就好了，可以直接用龙哥库塔数值解，可惜这里给出的是不等于0的d处的导数，在下不会用龙格库塔求解这个问题，如果可以用的话，请虫友指点。

2. 如果a*y^0.5一项是ay的话，这个二阶微分方程还是很容易解出来的，可惜原方程的解析解在下没能解出，请虫友指点，谢谢！

[ Last edited by arisun8818 on 2010-9-29 at 15:18 ]
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1楼 2010-09-29 15:16:14
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jiapanmail

银虫 (小有名气)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
这个解析解是比较难求的，我不是数学专业的。。。不知道这个解是不是存在，首先需要泛函和空间方面的知识。。。

其实如果是常微分方程的话，别且在所给的条件下，确定解是存在的，可以利用数值方法得到任意高精度的解。。。。当然这也和计算机有关系
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2楼2010-09-29 15:36:54
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arisun8818

金虫 (小有名气)
引用回帖:
Originally posted by jiapanmail at 2010-09-29 15:36:54:
这个解析解是比较难求的，我不是数学专业的。。。不知道这个解是不是存在，首先需要泛函和空间方面的知识。。。

其实如果是常微分方程的话，别且在所给的条件下，确定解是存在的，可以利用数值方法得到任意高精 ...

谢谢指点：）
补充说明一下，只考虑y对x的求导。

请推荐适用的数值方法，比如龙格库塔法适用吗，我只知道两个初始条件在同一x处的解法，这里如何用就不知道了。

谢谢！


：）
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3楼2010-09-29 17:28:54
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沙田柚

新虫 (小有名气)

思路

★
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我还不大会用网页上输入公式，只能提供思路，

1。 方程两端同乘分母，得到[url=http://latex.codecogs.com/gif.latex?$y^{1/2}y''-a_1y+a_2$[/url]


2. 令[url=http://latex.codecogs.com/gif.latex?$y^{1/2}=u$[/url]，得到只含u的二阶，一阶导数，u的方程

3. 对这个关于u的方程，参看同济的高数书，可降阶的高阶微分方程部分，可以求出u, 最后求出y
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4楼2010-09-29 20:59:13
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xxppyy

木虫 (小有名气)
★
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[ Last edited by xxppyy on 2010-9-30 at 01:05 ]
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5楼2010-09-30 00:55:37
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xxppyy

木虫 (小有名气)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流


但左边积分一般不是初等函数，所以无法求出解析解。
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6楼2010-09-30 01:14:31
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xxppyy

木虫 (小有名气)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
即使a2=0, 积分仍然不是初等的
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7楼2010-09-30 01:32:38
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arisun8818

金虫 (小有名气)
引用回帖:
Originally posted by xxppyy at 2010-09-30 01:32:38:
即使a2=0, 积分仍然不是初等的

非常感谢！

我也只能手算到你的6楼回帖而止。
7楼的结果算不出。
请问你的7楼结果是用Maple还是Mathematica算出来的呢？
我正打算安装类似软件替代复杂的手算，尽管很少用到。


这个积分结果不是初等的，无法得到解析解。
请问数值方法，比如龙格库塔法等，可以解决这类问题吗？

谢谢！

[ Last edited by arisun8818 on 2010-9-30 at 08:27 ]
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8楼2010-09-30 08:25:31
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xxppyy

木虫 (小有名气)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
引用回帖:
Originally posted by arisun8818 at 2010-09-30 08:25:31:



非常感谢！

我也只能手算到你的6楼回帖而止。
7楼的结果算不出。
请问你的7楼结果是用Maple还是Mathematica算出来的呢？
我正打算安装类似软件替代复杂的手算，尽管很少用到。


这个积分结果不是 ...

1. Mathematica
2. 不熟悉数值解法
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9楼2010-09-30 11:44:55
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