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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 理论物理&天文 » 【求助】不能归一的波函数
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yzcluster

金虫 (著名写手)

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mozhui(金币+4,VIP+0):3x! 6-11 16:21
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Originally posted by lxd_bruce at 2009-6-11 14:44:


“相对概率”的说法给我的感觉不太有说服力，至少和束缚态的量子理论相比，差远了。
后者可以用几个假设（物质波假设、统计解释等等）直接推导出薛定谔方程、不确定原理。
前者似乎除了给人一些牵强的解释以 ...

相对概率对束缚态和散射态势是同样适用的，这是波函数BORN解释的基本点，并不根据波函数的性质而有区别。在量子力学中，计算束缚态时往往侧重波函数和能级结构，而在计算散射态时，侧重于远离散射点的波函数的渐进行为，而不太关心散射点附近的情况。这只是根据物理情况不同侧重点不同，但没有否定BORN的统计解释。这些东西都是物理的，与你学没学过随机函数没有关系。

一些教课书上用束缚态形式的理论推导薛定谔方程其实是一种误导，或者可以认为是为了方便教学（不引入过多复杂数学的手续）而使用的一种打折扣方法。就我所知，其实这种做法是为了证明量子力学某些假设之间的等价性。比如，一般的量子力学教课书上往往给出5个基本假设，在此基础之上演绎而得到了整个理论框架。其实，量子力学中的假设远不止5个。然而，这些假设之间并非独立的，有些可以相互推导。其实，系统学过量子力学路径积分形式的虫友应该知道，我们完全可以利用路径积分中的传播子概念来得到薛定谔方程，在整个推导过程中，并没有区分传播子所描述的体系是“束缚的”还是“扩展的”。举个例子，其实路径积分的概念在凝聚态的介观物理分支中，在描述介观体系电子运动特性（比如对输运性质的描述，这显然是扩展态而非束缚态）有独到的优点。而这种描述也可以由薛定谔方程的等价形式（比如非平衡格林函数，转移矩阵等）来描述。仅仅用束缚态的理论（或是借用束缚态的一些特别条件）来推导“既可以描述束缚态又可以描述散射态”的薛定谔方程，是有局限的。
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21楼2009-06-11 16:08:35
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mozhui

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Originally posted by lxd_bruce at 2009-6-11 14:52:


倒不是说要求物理和数学一样严格。这是不可能的。
物理和数学应该不是完全割裂的。杨振宁曾经给出一个著名的数学和物理的关系曲线图。
意思就是：有时候数学走在前，有时候物理走在前。两者是有很密切的联系 ...

“但是，量子力学已经不是很新的物理理论了。从上世纪20年代开始就已经产生。
这80左右的时间，数学物理早就有了很大的发展，还用形式逻辑来解释80年前的物理理论似乎有点过时了。”

形式逻辑就是数理逻辑的基础。你的意思是泛函分析？以泛函分析作为量子力学的基础和以实分析作为经典力学的基础是相对应的，何来过时之说？
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22楼2009-06-11 16:28:25
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yzcluster

金虫 (著名写手)

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mozhui(金币+4,VIP+0):谢谢~ 6-11 16:56
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Originally posted by lxd_bruce at 2009-6-11 14:52:


倒不是说要求物理和数学一样严格。这是不可能的。
物理和数学应该不是完全割裂的。杨振宁曾经给出一个著名的数学和物理的关系曲线图。
意思就是：有时候数学走在前，有时候物理走在前。两者是有很密切的联系 ...

物理跟数学自然是相辅相成的，谁也离不开谁。可能lxd_bruce没有完全理解我的意思。我举个简单的例子，比如量子力学中的态叠加原理，我可以把态A写作A=B+C+......。那么，作为搞物理和数学的人，对这个式子理解是不同的。从物理上看，这个式子表示的意思是A是由B,C等态叠加或是杂化而成的一个态（如果用狄拉克符号表示，这些态可以脱离具体的表象而存在）。而且，这个A态或许有着B,C等态不具备的性质，例如B,C等态都是平面波，都是扩展态，而由其叠加而成的A则可能是束缚态，等等。简单的说，物理上是把这个式子从左往右看的。然而搞数学的人，就是从右往左看。他们要做的，首先就是要证明B,C等函数的叠加能否收敛到A，并试图给出收敛域和收敛准则等等。由于两种看法出发点不同，因此都没有错。

但是，如果对于搞数学的人在考虑收敛性等函数的数学性质的时候，还非要考虑物理上的概率解释，把这些物理的因素强加到数学推导上去，有时就会给自己自找麻烦。而搞物理的人，在考虑了实际的物理图像之后给出的态叠加原理，如果为了数学上的收敛性而不敢写出来，也是不可取的。这里并不是说数学和物理的结合不重要，恰恰相反，有时会很重要。但是，对于具体的情况，时刻区分这种结合是否是合适的，还是很有必要的。

[ Last edited by yzcluster on 2009-6-11 at 16:43 ]
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23楼2009-06-11 16:42:00
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x1night

金虫 (初入文坛)
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Originally posted by mozhui at 2009-6-11 12:00:


1.你所说的"薛定谔表象"指的是坐标表象吧？坐标表象到动量表象的变换是傅里叶变换没问题。态的叠加本身不涉及表象，但是你要把它数学表述出来自然要选取同一表象，"不在相同表象下的态叠加问题 ...

就是在这个傅里叶变换这引入了切萨罗收敛准则，而这个地方与一开始的态叠加假设的表达形式有差异，导致物理意义上可能完全不同，否则就要加上其他的限制或假设。并没有说态叠加依赖表象，但不同表象态是可以互相表示的。
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24楼2009-06-11 16:50:58
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x1night

金虫 (初入文坛)
我想知道的就是这个地方切萨罗收敛准则所导致的物理意义确切的理解是什么样的
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25楼2009-06-11 16:51:46
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mozhui

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Originally posted by x1night at 2009-6-11 16:50:


就是在这个傅里叶变换这引入了切萨罗收敛准则，而这个地方与一开始的态叠加假设的表达形式有差异，导致物理意义上可能完全不同，否则就要加上其他的限制或假设。并没有说态叠加依赖表象，但不同表象态是可以互 ...

你说的“一开始的态叠加假设的表达形式”是什么形式？态叠加原理的物理意义又怎么会因此不同了？把你要理解物理意义的式子列出来吧
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26楼2009-06-11 17:02:50
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lxd_bruce

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mozhui(金币+2,VIP+0):谢谢参与~ 6-11 17:58
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Originally posted by yzcluster at 2009-6-11 16:08:


形式逻辑就是数理逻辑的基础。你的意思是泛函分析？以泛函分析作为量子力学的基础和以实分析作为经典力学的基础是相对应的，何来过时之说？

我的意思是：
像非相对论量子力学的理论（不算是很新的内容了），应该是可以像电动力学那样变成形式物理了。否则，这80多年，那些搞数学物理的人不是白忙活了么？
80年前，量子力学刚诞生的时候，泛函分析等现代数学工具还未发展完善。但现在这些理论已经完备。
还用那些没有数学理论内核的形式逻辑（类似“相对概率”）来解释物理理论，岂不是有点过时？
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27楼2009-06-11 17:07:39
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mozhui

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Originally posted by x1night at 2009-6-11 16:50:


就是在这个傅里叶变换这引入了切萨罗收敛准则，而这个地方与一开始的态叠加假设的表达形式有差异，导致物理意义上可能完全不同，否则就要加上其他的限制或假设。并没有说态叠加依赖表象，但不同表象态是可以互 ...

态的叠加当然不依赖表象，但态的表式依赖，不同表象间下的表式可以通过幺正变换得到，这是表象理论的基本事实，并不改变物理意义。
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28楼2009-06-11 17:09:57
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lxd_bruce

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mozhui(金币+2,VIP+0):谢谢~ 6-11 17:58
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Originally posted by yzcluster at 2009-6-11 16:42:


但是，如果对于搞数学的人在考虑收敛性等函数的数学性质的时候，还非要考虑物理上的概率解释，把这些物理的因素强加到数学推导上去，有时就会给自己自找麻烦。而搞物理的人，在考虑了实际的物理图像之后给出的态叠加原理，如果为了数学上的收敛性而不敢写出来，也是不可取的。这里并不是说数学和物理的结合不重要，恰恰相反，有时会很重要。但是，对于具体的情况，时刻区分这种结合是否是合适的，还是很有必要的。

既然把物理现象解释为和概率相关的东西，自然和数学相关，在这方面的数学理论未完备的时候，你当然可以不去管它严格与否，但如果这方面的数学理论已经完备，可以解释的时候，还用物理的形式逻辑来解释，未免过时了吧？

80年前讲量子力学，不可能有人用泛函分析中Hilbert空间中的理论去讲非相对论量子力学的理论（即便是狄拉克这样的牛人，也不得不用形式逻辑），但现在如果一本量子力学的教材连Hilbert空间都不提，这会是一本好的教材么？

[ Last edited by lxd_bruce on 2009-6-11 at 17:19 ]
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29楼2009-06-11 17:16:58
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yzcluster

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mozhui(金币+2,VIP+0):谢谢~ 6-11 17:59
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Originally posted by lxd_bruce at 2009-6-11 17:16:


既然把物理现象解释为和概率相关的东西，自然和数学相关，在这方面的数学理论未完备的时候，你当然可以不去管它严格与否，但如果这方面的数学理论已经完备，可以解释的时候，还用物理的形式逻辑来解释，未免过 ...

我要提醒一句，虽然物理和数学相辅相成。但是不是说所有的物理的东西从数学上都可以得到解释。也并非所用的数学的东西（比如各式各样的级数收敛准则）都能在物理上找到对应物。数学和物理并不是严丝合缝，一一对应的。如果非要这么做，可能会“走火入魔”，呵呵。

[ Last edited by yzcluster on 2009-6-11 at 17:24 ]
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30楼2009-06-11 17:22:32
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