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jiangdahai

新虫 (初入文坛)

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1楼 2016-11-19 13:19:59

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alober

木虫 (著名写手)

数学EPI: 1
应助: 18 (小学生)
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在线: 473.6小时
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★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
jiangdahai: 金币+3 2016-11-20 16:34:47

$u=\sin t,du=\cos tdt$
$I/ab=\int_{0}^{1}u\sqrt{a^2u^2+b^2(1-u^2)}du=\frac{1}{2(a^2-b^2)}\int_{0}^{1}\sqrt{a^2u^2+b^2(1-u^2)}d(a^2u^2+b^2(1-u^2))=\frac{1}{2(a^2-b^2)}\int_{b^2}^{a^2}\sqrt{x}dx=\frac{1}{2(a^2-b^2)}\cdot\frac{2(a^3-b^3)}{3}=\frac{a^2+ab+b^2}{3(a+b)}$
因此 $I=\frac{ab(a^2+ab+b^2)}{3(a+b)}$

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2楼2016-11-19 14:33:48

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
jiangdahai: 金币+1 2016-11-20 16:35:36

假使a＞=b＞0，令x=Sint，则:
原积分=Integral{a*b*x*sqrt[b^2+(a^2-b^2)*x^2]*dx, 0,1}
再令x=b/sqrt[(a^2-b^2)]*tany
原积分=a*b^3/sqrt(a^2-b^2)*Integral{Siny/(Cosy)^2*dy, 0,pai/4}
=a*b^3/sqrt(a^-b^2)*[1-1/sqrt(2)]

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3楼2016-11-20 11:13:48

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