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ziyuxuanhuan

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[求助] 求助二阶偏微分方程求解已有2人参与

如图，公式是方框里的，数学不是很好，请教怎么求解

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1楼 2016-10-10 12:51:17

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【答案】应助回帖

★ ★ ★
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ziyuxuanhuan: 金币+3, ★★★很有帮助 2016-10-11 08:47:23

如果 $R(r)$ 是要求的函数，

$R(r)=\dfrac{e^{-r\sqrt{-\dfrac{\lambda}{\alpha}}}\left(\dfrac{C_2e^{2r\sqrt{-\dfrac{\lambda}{\alpha}}}}{\sqrt{-\dfrac{\lambda}{\alpha}}}+2C_1\right)}{2r}$

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2楼2016-10-10 14:48:51

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2楼: Originally posted by Mr__Right at 2016-10-10 14:48:51
如果 R(r) 是要求的函数，

R(r)=\dfrac{e^{-r\sqrt{-\dfrac{\lambda}{\alpha}}}\left(\dfrac{C_2e^{2r\sqrt{-\dfrac{\lambda}{\alpha}}}}{\sqrt{-\dfrac{\lambda}{\alpha}}}+2C_1\right)}{2r}...

简单一点，

$R(r)=\dfrac{1}{r}\left(C_1\;e^{r\sqrt{-\dfrac{\lambda}{\alpha}}}+C_2\;e^{-r\sqrt{-\dfrac{\lambda}{\alpha}}}\right)$

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3楼2016-10-10 14:54:33

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ziyuxuanhuan

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你好，可不可以说说过程？

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4楼2016-10-10 19:53:11

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哈哈笑泥

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

r很小时，第三项不要，得到解R1
r很大时，第二项不要，得到解R2
设R=R1*R2*u(r)代入求解u(r)，试探！

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

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5楼2016-10-10 23:07:21

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【答案】应助回帖

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ziyuxuanhuan: 金币+2, ★★★很有帮助 2016-10-11 08:47:32

引用回帖:

5楼: Originally posted by 哈哈笑泥 at 2016-10-10 23:07:21
r很小时，第三项不要，得到解R1
r很大时，第二项不要，得到解R2
设R=R1*R2*u(r)代入求解u(r)，试探！

这方程好像叫poison方程！

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6楼2016-10-10 23:08:41

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4楼: Originally posted by ziyuxuanhuan at 2016-10-10 19:53:11
你好，可不可以说说过程？...

方程是含有变系数的二阶线性常微分方程

可以查手册查到精确解，

前面的结果实际等价于更加平易近人的形式：
$\dfrac{{C_1}\cos\left(r\sqrt{\dfrac{\lambda}{\alpha}}\right)+{C_2}\sin\left(r\sqrt{\dfrac{\lambda}{\alpha}}\right)}{r}$
可以用下面方法推导，

先求常系数二阶常微分方程的特解（去掉一阶导数项）
无非是
$\cos\left(r\sqrt{\dfrac{\lambda}{\alpha}}\right)$
$\sin\left(r\sqrt{\dfrac{\lambda}{\alpha}}\right)$

添加一阶导数项，则在特解前面添加 $c(r)$

$c(r)\cos\left(r\sqrt{\dfrac{\lambda}{\alpha}}\right)$
$c(r)\sin\left(r\sqrt{\dfrac{\lambda}{\alpha}}\right)$

代入，求出 $c(r)$ 即可。

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7楼2016-10-11 09:08:11

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3楼: Originally posted by Mr__Right at 2016-10-10 14:54:33
简单一点，

R(r)=\dfrac{1}{r}\left(C_1\;e^{r\sqrt{-\dfrac{\lambda}{\alpha}}}+C_2\;e^{-r\sqrt{-\dfrac{\lambda}{\alpha}}}\right)...

同问过程

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此生只想和你一起虚度时光

8楼2016-10-11 09:15:44

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4楼: Originally posted by ziyuxuanhuan at 2016-10-10 19:53:11
你好，可不可以说说过程？...

按照Mr Right的方法做出的结果
貌似特征值算错了哦

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此生只想和你一起虚度时光

9楼2016-10-11 09:47:16

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