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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 除11和101外是否存在首尾为1中间都是0的素数？
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gxuzld

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此号已废，有事百度

[交流] 除11和101外是否存在首尾为1中间都是0的素数？ 已有4人参与

闲着无聊的时候，我在numberempire.com验证了1001至100000000000000000000000000000000000000000000000000000000001，都不是素数，是不是除了11和101，就不存在形如10……01的素数了呢？
或者说，命题“当N大于2时，1+10^N不是素数”成立吗？求证明或证伪。
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1楼 2016-04-22 23:32:16
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Edstrayer

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3楼: Originally posted by i维数 at 2016-04-23 01:49:20
n为奇数时，10^n+1可以被11整除

当n是偶数时，的素因子p都是满足的。
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4楼2016-04-23 03:03:51
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6楼: Originally posted by i维数 at 2016-04-23 21:29:13
这个要怎么证明呢？...

其实，考虑的素性分解，只需考虑的情形（其他情形下都是合数），即证明下面的命题：
命题：如果是素数，则。
这个条件是必要的，不是充要的，即：
k=0，n=1，得到是素数，
k=1，n=2，得到是素数。
k=2，n=4，得到不是素数。
k=3，n=8，得到不是素数。
…………………………………………………………………………………………………………
等等，至于是否还有其他正整数k，使得是素数，就不得而知。
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7楼2016-04-24 04:24:36
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8楼: Originally posted by 哈哈笑泥 at 2016-04-24 12:21:55
应该是世界难题！
2∧p-1
梅森素数？

...

Fermat数的变形：
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9楼2016-04-24 13:02:15
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11楼: Originally posted by gxuzld at 2016-04-25 12:54:52
n不等于{2^k}时{1+10^n}都是合数？这个证明了吗？

统一回复：以上各位的说法，貌似都没有附带证明，我觉得至少要说明哪里能找到证明吧，就算不详细写出来。（因为我对数论也不是很懂，你说的结论可能文献上 ...

呵呵呵，这个证明很简单的，只需应用算数基本定理即可，在任何一本初等数论教材中都可以找到这个定理的。
楼主翻翻初等数论教材即可以明白。
另外，这里讨论的问题延伸一下，既是Mersenne，Fermat整数的主题，其实他们是有密切关系的，不知楼主何以说他们没有关系，不知楼主说的主题是什么？
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12楼2016-04-25 16:06:41
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14楼: Originally posted by gxuzld at 2016-04-26 22:40:25
看不出{10^n+1}与梅森数{2^n-1}以及费马数{2^2^n+1}有什么联系，形式有点相似而已吧、、、...

你写的Fermat数是错的，Fermat数是，而不是，ok？
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15楼2016-04-27 00:27:34
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17楼: Originally posted by gxuzld at 2016-04-27 10:12:41
你说的n不等于2^k时，1+10^n不是素数。这个我学会怎么证明了，不过不是按你说的用算术基本定理。。。而且我证明的还不限于1+10^n，而是1+x^n,x是正整数。也就是说，你们说的都有道理。可惜到这里还没能回答我的疑问 ...

不管用什么方法，能解决问题就是好的
其实，用算数基本定理也能证明下述命题：
命题：设a是任意不小于2的偶正整数，n是自然数，如果是素数，则。
不过，这也离完全解决楼主的问题距离很远。
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18楼2016-04-27 11:57:38
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19楼: Originally posted by gxuzld at 2016-04-27 12:54:45
是阿，要逆推回来，才能解决我的问题。貌似，目前梅森数或者费马数中是否有无限个素数，这个问题也没得到回答。...

呵呵，这个问题可是几百年都无人回答的问题，要想在网站上找到答案，恐怕是天方夜谭啦！
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20楼2016-04-27 16:26:05
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21楼: Originally posted by gxuzld at 2016-04-28 08:27:38
不一定吧。虽说费马数中是否有无限个素数未得到回答，这个数的形式也类似费马数，但是差之毫厘谬以千里，说不定这种形式的还是有人能求解的。...

形式是类似于Fermat数，虽说问题不同，但是问题的复杂度却是一样的，性质也有许多类似之处，处理解决的方法也有相通之处，看不出两者的区别在哪里？等大神的神来之笔吧！
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22楼2016-04-28 15:09:54
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