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gxuzld

木虫 (正式写手)

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[交流] 除11和101外是否存在首尾为1中间都是0的素数？已有4人参与

闲着无聊的时候，我在numberempire.com验证了1001至100000000000000000000000000000000000000000000000000000000001，都不是素数，是不是除了11和101，就不存在形如10……01的素数了呢？
或者说，命题“当N大于2时，1+10^N不是素数”成立吗？求证明或证伪。

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2019年6月永久退出小木虫，资源全部取消，版主太厉害我惹不起了

1楼2016-04-22 23:32:16

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Edstrayer

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引用回帖:

6楼: Originally posted by i维数 at 2016-04-23 21:29:13
这个要怎么证明呢？...

其实，考虑 $1+10^n$ 的素性分解，只需考虑 $n=2^k$ 的情形（其他情形下都是合数），即证明下面的命题：
命题：如果 $1+10^n$ 是素数，则 $n=2^k$ 。
这个条件是必要的，不是充要的，即：
k=0，n=1，得到 $1+10^n=11$ 是素数，
k=1，n=2，得到 $1+10^n=101$ 是素数。
k=2，n=4，得到 $1+10^n=10001=73\times 137$ 不是素数。
k=3，n=8，得到 $1+10^n=100000001=17\times 5882353$ 不是素数。
…………………………………………………………………………………………………………
等等，至于是否还有其他正整数k，使得 $1+10^n$ 是素数，就不得而知。