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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 除11和101外是否存在首尾为1中间都是0的素数？
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gxuzld

木虫 (正式写手)

此号已废，有事百度

[交流] 除11和101外是否存在首尾为1中间都是0的素数？ 已有4人参与

闲着无聊的时候，我在numberempire.com验证了1001至100000000000000000000000000000000000000000000000000000000001，都不是素数，是不是除了11和101，就不存在形如10……01的素数了呢？
或者说，命题“当N大于2时，1+10^N不是素数”成立吗？求证明或证伪。
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1楼 2016-04-22 23:32:16
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i维数

木虫 (正式写手)
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n为奇数时，10^n+1可以被11整除
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3楼2016-04-23 01:49:20
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Edstrayer

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17楼: Originally posted by gxuzld at 2016-04-27 10:12:41
你说的n不等于2^k时，1+10^n不是素数。这个我学会怎么证明了，不过不是按你说的用算术基本定理。。。而且我证明的还不限于1+10^n，而是1+x^n,x是正整数。也就是说，你们说的都有道理。可惜到这里还没能回答我的疑问 ...

不管用什么方法，能解决问题就是好的
其实，用算数基本定理也能证明下述命题：
命题：设a是任意不小于2的偶正整数，n是自然数，如果是素数，则。
不过，这也离完全解决楼主的问题距离很远。
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18楼2016-04-27 11:57:38
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哈哈笑泥

金虫 (著名写手)
能因式分解？N是3的倍数，是合数！对因式分解不了解！

其实是(2k)∧n+1是质数吗？


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2楼2016-04-22 23:42:10
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Edstrayer

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3楼: Originally posted by i维数 at 2016-04-23 01:49:20
n为奇数时，10^n+1可以被11整除

当n是偶数时，的素因子p都是满足的。
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4楼2016-04-23 03:03:51
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gxuzld

木虫 (正式写手)

此号已废，有事百度
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4楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-04-23 03:03:51
当n是偶数时，10^n+1的素因子p都是满足p\equiv 1(mod 4)的。...

然后呢？
是不是说的所有素因子都满足这个条件？
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5楼2016-04-23 15:21:22
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i维数

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4楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-04-23 03:03:51
当n是偶数时，10^n+1的素因子p都是满足p\equiv 1(mod 4)的。...

这个要怎么证明呢？
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6楼2016-04-23 21:29:13
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Edstrayer

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6楼: Originally posted by i维数 at 2016-04-23 21:29:13
这个要怎么证明呢？...

其实，考虑的素性分解，只需考虑的情形（其他情形下都是合数），即证明下面的命题：
命题：如果是素数，则。
这个条件是必要的，不是充要的，即：
k=0，n=1，得到是素数，
k=1，n=2，得到是素数。
k=2，n=4，得到不是素数。
k=3，n=8，得到不是素数。
…………………………………………………………………………………………………………
等等，至于是否还有其他正整数k，使得是素数，就不得而知。
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7楼2016-04-24 04:24:36
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哈哈笑泥

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7楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-04-24 04:24:36
其实，考虑1+10^n的素性分解，只需考虑n=2^k的情形（其他情形下都是合数），即证明下面的命题：
命题：如果1+10^n是素数，则n=2^k。
这个条件是必要的，不是充要的，即：
k=0，n=1，得到1+10^n=11是素数， ...

应该是世界难题！
2∧p-1
梅森素数？

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8楼2016-04-24 12:21:55
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Edstrayer

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8楼: Originally posted by 哈哈笑泥 at 2016-04-24 12:21:55
应该是世界难题！
2∧p-1
梅森素数？

...

Fermat数的变形：
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9楼2016-04-24 13:02:15
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连续统假说i

木虫 (正式写手)
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9楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-04-24 13:02:15
Fermat数的变形：F_n=1+2^{2^n}(n\geqslant 0)...

哪里讨论数论，哪里就有Fermat.

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数学与吾等同在！
10楼2016-04-25 07:10:49
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