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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 定椭圆上到椭圆内定点距离的最小值如何确定？
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szg7724

金虫 (初入文坛)

[求助] 定椭圆上到椭圆内定点距离的最小值如何确定？已有5人参与

一个困扰很长时间的问题：椭圆（x^2/4)+(y^2/3)=1 上的点到点(1,1) 的距离的最小值如何求？不是只要思路．
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1楼2016-01-18 09:10:50
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

laosam280

禁虫 (正式写手)
★
感谢参与，应助指数 +1
szg7724(Edstrayer代发): 金币+1 2016-01-19 02:10:33
本帖内容被屏蔽
7楼2016-01-18 13:27:51
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jerkwin

专家顾问 (正式写手)
★ ★
Edstrayer: 金币+2 2016-01-20 02:03:27
引用回帖:
22楼: Originally posted by hui470 at 2016-01-19 11:52:11
我没有说用不等式，你回复错了。。。。。以（1,1）为圆心画圆得到的不只是4次方吧？是一个极复杂的方程。。。。
...

不知你自己算过没有.
你使用参数方程, 然后万能公式代换一下, 得到的就是四次方程.
这是个计算几何上早就有解决方法的问题, 没有什么难处.
一般情况下就是要解四次方程, 在某些特殊情况下, 比如定点位于x轴或y轴上, 可以简单得到解.
以高中的数学知识, 没有办法获得一般情况下的解.
言尽于此, 你好好思考吧.
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23楼2016-01-19 12:41:42
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遥控小丑

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
szg7724(Edstrayer代发): 金币+1 2016-01-19 02:12:06
拉格朗日乘数法应该是可以的。。

发自小木虫Android客户端
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中午12点起床吃早饭~
11楼2016-01-18 20:53:42
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yaoshunzhen

新虫 (著名写手)
在黑板上用绳子固定两焦点画个椭圆，然后用绳子量一下，再用尺子量一下绳子，不就行啦？

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shunzhen
18楼2016-01-19 08:03:22
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普通回帖

dfdx

金虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
szg7724(Edstrayer代发): 金币+1 2016-01-19 02:09:55
1，约束条件，拉格朗日……
2，参数方程！

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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？
2楼2016-01-18 09:14:16
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dingd

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
szg7724(Edstrayer代发): 金币+1 2016-01-19 02:10:09
1stOpt求解：
CODE:
Constant x1=1,y1=1;
MinFunction sqrt((x-x1)^2+(y-y1)^2);
            (x^2/4)+(y^2/3)=1;

目标函数值(最小): 0.431777410844043
x: 1.24492086401372
y: 1.35559176436745
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3楼2016-01-18 09:55:57
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szg7724

金虫 (初入文坛)
不是利用工具求近似解！
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4楼2016-01-18 10:49:39
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dingd

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

想自己编程求解？参照3楼，一个目标函数、一个等式约束函数，非常普通的一个优化问题。
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5楼2016-01-18 11:06:08
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szg7724

金虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by dingd at 2016-01-18 11:06:08
想自己编程求解？参照3楼，一个目标函数、一个等式约束函数，非常普通的一个优化问题。

是初等解法，可以借助导数，方向容易确定，过程及结果是怎样的？还麻烦大师指点！多谢！
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6楼2016-01-18 13:02:06
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axinaxin

新虫 (小有名气)
可以用参数方程，椭圆上面任意一点设为2cost，3^｛1/2｝sint。然后用距离公式计算与定点的距离d，d^2=4cos^2 t-4cost+1+3sin^2 t-2 *3^｛1/2｝sint+1=5+cos^2 t-4cost+3sint。后面可以换元成单变量的函数然后用导数的办法求极值。

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8楼2016-01-18 15:20:49
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szg7724

金虫 (初入文坛)
引用回帖:
7楼: Originally posted by laosam280 at 2016-01-18 13:27:51
椭圆的参数方程为 x=2cos(t), y= sqrt{3}sin(t)
利用两点间距离公式写出距离 L^2=(x-1)^2+(y-1)^2
将x和y代入，整理，然后对t求导得到一个关于t的超越方程。
这个方程直接看不出来，可以去数值求解。楼主说的不要 ...

为什么没有解析解？显然没有的依据是什么？谢谢！
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9楼2016-01-18 18:54:03
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szg7724

金虫 (初入文坛)
说此题是因为我在2003年带高三时，一个学生问我河南出版的《中学生数理化》上有一个问答栏目河南师范大学附中的赵振华老师一个类似题目的解答，当时没有发现，好像利用重要不等式的知识解答的，我后来下载当时的电子杂志，却没有发现这个题，具体算却算不出。
还是那句话，思路怎么说都可以，我也试了，却走不通的。所以请朋友们不要只说思路！ @laosam280
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10楼2016-01-18 18:59:58
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