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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 麻烦给出定积分的计算过程和结果
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qrr_xmc

新虫 (正式写手)

[求助] 麻烦给出定积分的计算过程和结果 已有6人参与

麻烦给出如下定积分的计算过程和结果：

麻烦给出定积分的计算过程和结果
定积分.jpg
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1楼 2015-11-14 12:26:10
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
qrr_xmc: 金币+8, ★★★很有帮助 2015-11-14 16:41:37
令u=(b+a)/2+(b-a)/2*Sinu
原式=(b-a)^2/(8*π)Integral{[Cosu]^2/{(b+a)/2+(b-a)/2*Sinu}*du , -π/2 , π/2}
再令t=tanu,
则：Cosu=(1-t^2)/(1+t^2) ,
      Sinu=2*t/(1+t^2)
       du=2*dt/(1+t^2)
原式=(b-a)^2/(8*π)*Integral{[u^4-2*u^2+1]*du/{[1+u^2]^2*{{u+(b-a)/[2*(b+a)]}^2+1-{(b-a)/[2*(b+a)]}^2}}, -1 , 1}
由代数学知识，被积函数可表达为如下的形式：
{[u^4-2*u^2+1]*du/{[1+u^2]^2*{{u+(b-a)/[2*(b+a)]}^2+1-{(b-a)/[2*(b+a)]}^2}}= (A*u+B)/[1+u^2]^2+(C*u+D)/(1+u^2)+(E*u+F)/{{u+(b-a)/[2*(b+a)]}^2+1-{(b-a)/[2*(b+a)]}^2}}
其中的A~F为待定常数，可由待定系数法确定。
如此一来，原积分化为了三种形式的积分之和。而这三种积分在教科书上已经讲的很清楚了，是已经解决了的问题，这里就不展开了。
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4楼2015-11-14 14:43:18
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laosam280

禁虫 (正式写手)
本帖内容被屏蔽

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qrr_xmc
13楼2015-11-15 12:52:14
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2063304814

新虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
于∫（√（（a∧2）-（x∧2）））÷（x+b）dx这种类型的，令x=acos（t），-π÷2＜t＜π÷2
∫（√（（a∧2）-（x∧2）））÷（x+b）dx=（acos（t））÷（b+asin（t））=（b+asin（t））×（acos（t））÷（（b+asin（t））∧2）=0.5×㏑（（b+asin（t））∧2）

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6楼2015-11-14 15:41:13
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laosam280

禁虫 (正式写手)
本帖内容被屏蔽
16楼2015-11-16 08:54:56
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0404600213

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
qrr_xmc: 金币+4, ★★★很有帮助 2015-11-14 16:43:22
令x=[(b-a)/2]*sin(t)+(a+b)/2,t 从-pi/2到pi/2
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2楼2015-11-14 12:33:25
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
qrr_xmc: 金币+4, ★★★很有帮助 2015-11-14 16:43:37
没有显式解！
>> syms x a b
>> int(sqrt((b-x)*(x-a))/2/pi/x,x,a,b)
Warning: Explicit integral could not be found.
> In D:\Matlab\toolbox\symbolic\@sym\int.m at line 58

ans =

int(1/2*(-(-b+x)*(x-a))^(1/2)/pi/x,x = a .. b)
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
3楼2015-11-14 13:48:30
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2063304814

新虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
qrr_xmc: 金币+8, ★★★很有帮助 2015-11-14 16:42:13
抱歉，下面为修改过的
于∫（√（（a∧2）-（x∧2）））÷（x+b）dx这种类型的，令x=acos（t），-π÷2＜t＜π÷2
∫（√（（a∧2）-（x∧2）））÷（x+b）dx=∫（acos（t））÷（b+asin（t））=∫（b+asin（t））×（acos（t））÷（（b+asin（t））∧2）=0.5×㏑（（b+asin（t））∧2）

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7楼2015-11-14 15:45:43
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2063304814

新虫 (小有名气)
抱歉，少写了dt，所以再次修改
于∫（√（（a∧2）-（x∧2）））÷（x+b）dx这种类型的，令x=acos（t），-π÷2＜t＜π÷2
∫（√（（a∧2）-（x∧2）））÷（x+b）dx=∫（acos（t））÷（b+asin（t））dt=∫（b+asin（t））×（acos（t））÷（（b+asin（t））∧2）dt=0.5×㏑（（b+asin（t））∧2）

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9楼2015-11-14 15:49:57
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zeng84638507

铁杆木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
qrr_xmc: 金币+3, ★★★很有帮助 2015-11-14 16:44:03
可以用欧拉代换换元

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10楼2015-11-14 15:52:12
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dingyue

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
qrr_xmc: 金币+3, ★★★很有帮助 2015-11-14 16:44:18
换元～太简单了～这种题目so easy

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你只管去奋斗，上天自有安排！
11楼2015-11-14 15:55:33
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
3楼: Originally posted by wurongjun at 2015-11-14 13:48:30
没有显式解！
>> syms x a b
>> int(sqrt((b-x)*(x-a))/2/pi/x,x,a,b)
Warning: Explicit integral could not be found.
> In D:\Matlab\toolbox\symbolic\@sym\int.m at line 58

ans =

...

经过仔细推算，发现还是可以得到积分的显式表达式的。
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12楼2015-11-14 16:57:15
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
13楼: Originally posted by laosam280 at 2015-11-15 12:52:14
按照前楼所讲的换元法，可以求出如下的解：
1） 当0<a<b
              b^(3/2)*a^(1/2) + a^(3/2)*b^(1/2) - 2ab
积分 = ---------------------------------------------------------
                  ...

laosam280 太神了，看了你的答案后，我才想到怎么证明的

设k>1, 就是 只讨论 0<a<b的情况。

注意到
,

这意味着我们有


那么，两边对k 积分，就有. 从k 趋于1直接看出C_1=0.

这个定积分等价于

很多时候，知道答案后事情就变得非常简单。 可怎么先知道答案呢？ 那就要等 laosam280 等大神指出方向了
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qrr_xmc
We_must_know. We_will_know.
15楼2015-11-16 07:29:10
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shabaolin

铜虫 (著名写手)
这道题太复杂了，a^2大于b^2是一种积分形式，a^2小于b^2又是另外一种，没有相当的功夫是算不出来的

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17楼2015-11-16 09:02:52
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普通回帖

450965909

新虫 (初入文坛)
这个题很简单的吧！

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5楼2015-11-14 15:20:21
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2063304814

新虫 (小有名气)
少写了∫

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8楼2015-11-14 15:46:13
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