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麻烦给出定积分的计算过程和结果 已有6人参与
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麻烦给出如下定积分的计算过程和结果： 定积分.jpg |
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peterflyer 
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【答案】应助回帖
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感谢参与，应助指数 +1
qrr_xmc: 金币+8, ★★★很有帮助 2015-11-14 16:41:37
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qrr_xmc: 金币+8, ★★★很有帮助 2015-11-14 16:41:37
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令u=(b+a)/2+(b-a)/2*Sinu 原式=(b-a)^2/(8*π)Integral{[Cosu]^2/{(b+a)/2+(b-a)/2*Sinu}*du , -π/2 , π/2} 再令t=tanu, 则：Cosu=(1-t^2)/(1+t^2) , Sinu=2*t/(1+t^2) du=2*dt/(1+t^2) 原式=(b-a)^2/(8*π)*Integral{[u^4-2*u^2+1]*du/{[1+u^2]^2*{{u+(b-a)/[2*(b+a)]}^2+1-{(b-a)/[2*(b+a)]}^2}}, -1 , 1} 由代数学知识，被积函数可表达为如下的形式： {[u^4-2*u^2+1]*du/{[1+u^2]^2*{{u+(b-a)/[2*(b+a)]}^2+1-{(b-a)/[2*(b+a)]}^2}}= (A*u+B)/[1+u^2]^2+(C*u+D)/(1+u^2)+(E*u+F)/{{u+(b-a)/[2*(b+a)]}^2+1-{(b-a)/[2*(b+a)]}^2}} 其中的A~F为待定常数，可由待定系数法确定。 如此一来，原积分化为了三种形式的积分之和。而这三种积分在教科书上已经讲的很清楚了，是已经解决了的问题，这里就不展开了。 |
4楼2015-11-14 14:43:18
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qrr_xmc13楼2015-11-15 12:52:14
【答案】应助回帖
感谢参与，应助指数 +1
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于∫（√（（a∧2）-（x∧2）））÷（x+b）dx这种类型的，令x=acos（t），-π÷2＜t＜π÷2 ∫（√（（a∧2）-（x∧2）））÷（x+b）dx=（acos（t））÷（b+asin（t））=（b+asin（t））×（acos（t））÷（（b+asin（t））∧2）=0.5×㏑（（b+asin（t））∧2） 发自小木虫Android客户端 |
6楼2015-11-14 15:41:13
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16楼2015-11-16 08:54:56
0404600213
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2楼2015-11-14 12:33:25
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3楼2015-11-14 13:48:30
【答案】应助回帖
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qrr_xmc: 金币+8, ★★★很有帮助 2015-11-14 16:42:13
qrr_xmc: 金币+8, ★★★很有帮助 2015-11-14 16:42:13
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抱歉，下面为修改过的 于∫（√（（a∧2）-（x∧2）））÷（x+b）dx这种类型的，令x=acos（t），-π÷2＜t＜π÷2 ∫（√（（a∧2）-（x∧2）））÷（x+b）dx=∫（acos（t））÷（b+asin（t））=∫（b+asin（t））×（acos（t））÷（（b+asin（t））∧2）=0.5×㏑（（b+asin（t））∧2） 发自小木虫Android客户端 |
7楼2015-11-14 15:45:43
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抱歉，少写了dt，所以再次修改 于∫（√（（a∧2）-（x∧2）））÷（x+b）dx这种类型的，令x=acos（t），-π÷2＜t＜π÷2 ∫（√（（a∧2）-（x∧2）））÷（x+b）dx=∫（acos（t））÷（b+asin（t））dt=∫（b+asin（t））×（acos（t））÷（（b+asin（t））∧2）dt=0.5×㏑（（b+asin（t））∧2） 发自小木虫Android客户端 |
9楼2015-11-14 15:49:57
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换元～太简单了～这种题目so easy 发自小木虫Android客户端 |
11楼2015-11-14 15:55:33
peterflyer
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