【答案】应助回帖

你只管去奋斗，上天自有安排！

11楼2015-11-14 15:55:33

peterflyer

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peterflyer

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3楼: Originally posted by wurongjun at 2015-11-14 13:48:30
没有显式解！
>> syms x a b
>> int(sqrt((b-x)*(x-a))/2/pi/x,x,a,b)
Warning: Explicit integral could not be found.
> In D:\Matlab\toolbox\symbolic\@sym\int.m at line 58

ans =

...

经过仔细推算，发现还是可以得到积分的显式表达式的。

12楼2015-11-14 16:57:15

laosam280

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qrr_xmc

13楼2015-11-15 12:52:14

shabaolin

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13楼: Originally posted by laosam280 at 2015-11-15 12:52:14
按照前楼所讲的换元法，可以求出如下的解：
1）当0<a<b
b^(3/2)*a^(1/2) + a^(3/2)*b^(1/2) - 2ab
积分 = ---------------------------------------------------------
...

能做出此答案不易啊！基本功很扎实

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14楼2015-11-16 06:25:39

hank612

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引用回帖:

laosam280 太神了，看了你的答案后，我才想到怎么证明的

设k>1, 就是只讨论 0<a<b的情况。

注意到
$\int \sqrt{\frac{x-1}{k-x}}\frac{dx}{x}=\frac{2}{\sqrt{k}}\arctan\sqrt{\frac{k-x}{k(x-1)}}-2\arctan\sqrt{\frac{k-x}{x-1}}+C$ ,

这意味着我们有
$\int_{1}^{k}\sqrt{\frac{x-1}{k-x}}\frac{dx}{x}=\pi(1-\frac{1}{\sqrt{k}})$

那么，两边对k 积分，就有 $\int_{1}^k \frac{\sqrt{(k-x)(x-1)}}{x}dx=\frac{\pi}{2}(\sqrt{k}-1)^2+C_1$ . 从k 趋于1直接看出C_1=0.

这个定积分等价于 $\int_{a}^{b}\frac{\sqrt{(b-x)(x-a)}}{x}dx=\frac{\pi}{2}(\sqrt{b}-\sqrt{a})^2$

很多时候，知道答案后事情就变得非常简单。可怎么先知道答案呢？那就要等 laosam280 等大神指出方向了

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qrr_xmc

We_must_know. We_will_know.

15楼2015-11-16 07:29:10

laosam280

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16楼2015-11-16 08:54:56

shabaolin

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这道题太复杂了，a^2大于b^2是一种积分形式，a^2小于b^2又是另外一种，没有相当的功夫是算不出来的

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17楼2015-11-16 09:02:52

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18楼2015-11-16 10:54:41

qrr_xmc

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引用回帖:

15楼: Originally posted by hank612 at 2015-11-16 07:29:10
laosam280 太神了，看了你的答案后，我才想到怎么证明的

设k>1, 就是只讨论 0<a<b的情况。

注意到
\int \sqrt{\frac{x-1}{k-x}}\frac{dx}{x}=\frac{2}{\sqrt{k}}\arctan\sqrt{\frac{k-x}{k(x-1) ...

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19楼2015-11-16 10:56:21