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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 麻烦给出定积分的计算过程和结果
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dingyue

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
qrr_xmc: 金币+3, ★★★很有帮助 2015-11-14 16:44:18
换元～太简单了～这种题目so easy

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你只管去奋斗，上天自有安排！
11楼2015-11-14 15:55:33
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
3楼: Originally posted by wurongjun at 2015-11-14 13:48:30
没有显式解！
>> syms x a b
>> int(sqrt((b-x)*(x-a))/2/pi/x,x,a,b)
Warning: Explicit integral could not be found.
> In D:\Matlab\toolbox\symbolic\@sym\int.m at line 58

ans =

...

经过仔细推算，发现还是可以得到积分的显式表达式的。
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12楼2015-11-14 16:57:15
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laosam280

禁虫 (正式写手)
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qrr_xmc
13楼2015-11-15 12:52:14
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shabaolin

铜虫 (著名写手)
引用回帖:
13楼: Originally posted by laosam280 at 2015-11-15 12:52:14
按照前楼所讲的换元法，可以求出如下的解：
1） 当0<a<b
              b^(3/2)*a^(1/2) + a^(3/2)*b^(1/2) - 2ab
积分 = ---------------------------------------------------------
                  ...

能做出此答案不易啊！基本功很扎实

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14楼2015-11-16 06:25:39
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
13楼: Originally posted by laosam280 at 2015-11-15 12:52:14
按照前楼所讲的换元法，可以求出如下的解：
1） 当0<a<b
              b^(3/2)*a^(1/2) + a^(3/2)*b^(1/2) - 2ab
积分 = ---------------------------------------------------------
                  ...

laosam280 太神了，看了你的答案后，我才想到怎么证明的

设k>1, 就是 只讨论 0<a<b的情况。

注意到
,

这意味着我们有


那么，两边对k 积分，就有. 从k 趋于1直接看出C_1=0.

这个定积分等价于

很多时候，知道答案后事情就变得非常简单。 可怎么先知道答案呢？ 那就要等 laosam280 等大神指出方向了
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qrr_xmc
We_must_know. We_will_know.
15楼2015-11-16 07:29:10
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laosam280

禁虫 (正式写手)
本帖内容被屏蔽
16楼2015-11-16 08:54:56
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shabaolin

铜虫 (著名写手)
这道题太复杂了，a^2大于b^2是一种积分形式，a^2小于b^2又是另外一种，没有相当的功夫是算不出来的

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17楼2015-11-16 09:02:52
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qrr_xmc

新虫 (正式写手)
送红花一朵
引用回帖:
13楼: Originally posted by laosam280 at 2015-11-15 12:52:14
按照前楼所讲的换元法，可以求出如下的解：
1） 当0<a<b
              b^(3/2)*a^(1/2) + a^(3/2)*b^(1/2) - 2ab
积分 = ---------------------------------------------------------
                  ...

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18楼2015-11-16 10:54:41
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qrr_xmc

新虫 (正式写手)
送红花一朵
引用回帖:
15楼: Originally posted by hank612 at 2015-11-16 07:29:10
laosam280 太神了，看了你的答案后，我才想到怎么证明的

设k>1, 就是 只讨论 0<a<b的情况。

注意到
\int \sqrt{\frac{x-1}{k-x}}\frac{dx}{x}=\frac{2}{\sqrt{k}}\arctan\sqrt{\frac{k-x}{k(x-1) ...

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19楼2015-11-16 10:56:21
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