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霞栖影

新虫 (小有名气)

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1楼 2015-11-01 14:07:11

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数学老学徒

金虫 (小有名气)

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专业: 数论

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
霞栖影: 金币+5, ★★★很有帮助 2015-11-01 23:22:55

。

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shabaolin

未来属于开拓者

7楼2015-11-01 22:31:05

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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专业: 理论和计算化学

引用回帖:

2楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-11-01 15:18:47
求极限：\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2x)^{\frac{1}{2x}}}{\sin x}=?

注意到 $(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2x)^{\frac{1}{2x}}=-\int_{x}^{2x}\frac{(1+t)^{\frac{1}{t}}}{1+t}\frac{t-(1+t)\ln(1+t)}{t^2} dt$

以及当 t-->0时， $(1+t)^{\frac{1}{t}}->e$ 并且 $\frac{t-(1+t)\ln(1+t)}{t^2}\to\frac{1-\ln(1+t)-1}{2t}\to\frac{-\frac{1}{1+t}}{2}$

知道原式 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^{1/x}-(1+2x)^{1/(2x)}}{\sin{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\int_{x}^{2x}\frac{-e}{2}dt}{\sin{x}}=\frac{e}{2}$

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We_must_know. We_will_know.

4楼2015-11-01 15:52:11

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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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注册: 2014-03-25
管辖: 数学

求极限： $\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2x)^{\frac{1}{2x}}}{\sin x}=?$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2015-11-01 15:18:47

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0404600213

金虫 (正式写手)

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专业: 数论

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

不是用洛必达法则法则？

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3楼2015-11-01 15:24:49

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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

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专业: 计算数学与科学工程计算
管辖: 数学

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

洛必达法则
>> diff(((1+x)^(1/x)-(1+2*x)^(1/x/2)))

ans =

(1+x)^(1/x)*(-1/x^2*log(1+x)+1/x/(1+x))-(1+2*x)^(1/2/x)*(-1/2/x^2*log(1+2*x)+1/x/(1+2*x))

>> limit(ans,x,0)

ans =

1/2*exp(1)

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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.

5楼2015-11-01 16:27:39

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mathstudy

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感谢参与，应助指数 +1

记 $f(x)=(1+\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}}$ ，则由微分中值定理得到
$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(2x)}{\sin x}=\lim_{x \to 0} \frac{f'(\eta)(-x)}{x}=-\lim_{\x \to 0}f'(x)=-\lim_{x\ to 0} f(x)\frac{x-(1+x)\ln (1+x )}{x^2(1+x)}=-\lim_{x\to 0}f(x)\lim_{x\to 0}\frac{x-(1+x)\ln (1+x)}{x^2}=-e\times (-\frac{1}{2})=\frac{e}{2}$

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shabaolin

6楼2015-11-01 20:21:33

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shabaolin

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引用回帖:

6楼: Originally posted by mathstudy at 2015-11-01 20:21:33
记 f(x)=(1+\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}}，则由微分中值定理得到
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(2x)}{\sin x}=\lim_{x \to 0} \frac{f'(\eta)(-x)}{x}=-\lim_{\x \to 0}f'(x)=-\lim_{x\ to 0} f(x)\frac{x-(1+x)\ln (1 ...

这个方法最好，刚开始学高数，哪有积分，罗比它法则，就只有等价无穷小和两个重要极限的知识

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8楼2015-11-02 05:07:20

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