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霞栖影

新虫 (小有名气)

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专业: 应用数学方法

[求助] 求助一道求极限题已有4人参与

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1楼 2015-11-01 14:07:11

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mathstudy

金虫 (正式写手)

数学EPI: 2
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专业: 计算数学与科学工程计算

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

记 $f(x)=(1+\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}}$ ，则由微分中值定理得到
$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(2x)}{\sin x}=\lim_{x \to 0} \frac{f'(\eta)(-x)}{x}=-\lim_{\x \to 0}f'(x)=-\lim_{x\ to 0} f(x)\frac{x-(1+x)\ln (1+x )}{x^2(1+x)}=-\lim_{x\to 0}f(x)\lim_{x\to 0}\frac{x-(1+x)\ln (1+x)}{x^2}=-e\times (-\frac{1}{2})=\frac{e}{2}$

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shabaolin

6楼2015-11-01 20:21:33

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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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管辖: 数学

求极限： $\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2x)^{\frac{1}{2x}}}{\sin x}=?$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2015-11-01 15:18:47

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0404600213

金虫 (正式写手)

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专业: 数论

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

不是用洛必达法则法则？

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3楼2015-11-01 15:24:49

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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在线: 1375.8小时
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注册: 2013-07-03
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专业: 理论和计算化学

引用回帖:

2楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-11-01 15:18:47
求极限：\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2x)^{\frac{1}{2x}}}{\sin x}=?

注意到 $(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2x)^{\frac{1}{2x}}=-\int_{x}^{2x}\frac{(1+t)^{\frac{1}{t}}}{1+t}\frac{t-(1+t)\ln(1+t)}{t^2} dt$

以及当 t-->0时， $(1+t)^{\frac{1}{t}}->e$ 并且 $\frac{t-(1+t)\ln(1+t)}{t^2}\to\frac{1-\ln(1+t)-1}{2t}\to\frac{-\frac{1}{1+t}}{2}$

知道原式 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^{1/x}-(1+2x)^{1/(2x)}}{\sin{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\int_{x}^{2x}\frac{-e}{2}dt}{\sin{x}}=\frac{e}{2}$

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We_must_know. We_will_know.

4楼2015-11-01 15:52:11

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