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zzrqyr

银虫 (小有名气)

[求助] 求助数学专业的大神们

大家好，下面有道题，大家帮忙证明一下，小弟先在此感谢各位了！

求助数学专业的大神们
2014-11-14_175444.jpg
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1楼 2014-11-14 18:07:29
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
看看下面一个具体的例子：


则有对于，恒有
而且f(t)在(0,t)上是局部有界的，但是我们有


那么怎么理解表达式：


无穷与无穷的比不是未定式吗？怎么排除此种情况？
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zzrqyr
青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
2楼2014-11-15 03:03:59
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-11-15 03:03:59
看看下面一个具体的例子：
f:\mathbb{R^+}\to\mathbb{R^+}\quad f(x)=1+\frac{1}{x^2}
则有对于x>0，恒有\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{f(tx)}{f(t)}=1
而且f(t)在(0,t)上是局部有界的，但是我们有
g(t)=\ ...

未定式还是可以比较的, 请看下面的论述:

由于f(x)>0, 所以 是单调上升函数. 不妨设x>1, (否则可以考虑). 当x>1时,明显

任给t 与固定的x>1, 设g(tx)=f(T). 如果T<t, 那么 g(tx)=g(t),

如果 T=t*p,对某个 , 那么由于, 有

由以及两边夹定理, 知道
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zzrqyr
We_must_know. We_will_know.
3楼2014-11-15 03:11:41
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2014-11-15 03:11:41
未定式还是可以比较的, 请看下面的论述:

由于f(x)>0, 所以 g(t)=sup_{0<x<t} f(x)是单调上升函数. 不妨设x>1, (否则可以考虑\frac{g(\frac{1}{x}t)}{g(t)}.). 当x>1时,明显\frac{g(xt)}{g(t)}\g ...

T=tx怎么会小于t，不是假定x>1吗？
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
4楼2014-11-15 03:19:00
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2014-11-15 03:11:41
未定式还是可以比较的, 请看下面的论述:

由于f(x)>0, 所以 g(t)=sup_{0<x<t} f(x)是单调上升函数. 不妨设x>1, (否则可以考虑\frac{g(\frac{1}{x}t)}{g(t)}.). 当x>1时,明显\frac{g(xt)}{g(t)}\g ...

g(tx)=f(T)？上确界一定可达吗？
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
5楼2014-11-15 03:23:42
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-11-15 03:23:42
g(tx)=f(T)？上确界一定可达吗？...

你说的非常有道理.看来我的证明只对f(x)为上连续函数成立,

一般情形, 因为已经有了你的反例, 命题不成立.
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We_must_know. We_will_know.
6楼2014-11-15 03:40:19
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zzrqyr

银虫 (小有名气)
送红花一朵
引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2014-11-15 03:11:41
未定式还是可以比较的, 请看下面的论述:

由于f(x)>0, 所以 g(t)=sup_{0<x<t} f(x)是单调上升函数. 不妨设x>1, (否则可以考虑\frac{g(\frac{1}{x}t)}{g(t)}.). 当x>1时,明显\frac{g(xt)}{g(t)}\g ...

谢谢你的耐心解答
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7楼2014-11-15 18:46:08
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zzrqyr

银虫 (小有名气)
送红花一朵
引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-11-15 03:03:59
看看下面一个具体的例子：
f:\mathbb{R^+}\to\mathbb{R^+}\quad f(x)=1+\frac{1}{x^2}
则有对于x>0，恒有\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{f(tx)}{f(t)}=1
而且f(t)在(0,t)上是局部有界的，但是我们有
g(t)=\ ...

谢谢你的耐心解答
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8楼2014-11-15 18:46:47
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zzrqyr

银虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2014-11-15 03:11:41
未定式还是可以比较的, 请看下面的论述:

由于f(x)>0, 所以 g(t)=sup_{0<x<t} f(x)是单调上升函数. 不妨设x>1, (否则可以考虑\frac{g(\frac{1}{x}t)}{g(t)}.). 当x>1时,明显\frac{g(xt)}{g(t)}\g ...

你好，这步，如果T<t, 那么 g(tx)=g(t)，你是怎么得到的，谢谢指教！
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9楼2014-11-15 19:54:55
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