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zzrqyr

银虫 (小有名气)

[求助] 求助数学专业的大神们

大家好,下面有道题,大家帮忙证明一下,小弟先在此感谢各位了!

求助数学专业的大神们
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

看看下面一个具体的例子:


则有对于,恒有
而且f(t)在(0,t)上是局部有界的,但是我们有


那么怎么理解表达式:


无穷与无穷的比不是未定式吗?怎么排除此种情况?

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青葱岁月圣诞夜,浪漫歌舞迎新年。
2楼2014-11-15 03:03:59
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-11-15 03:03:59
看看下面一个具体的例子:
f:\mathbb{R^+}\to\mathbb{R^+}\quad f(x)=1+\frac{1}{x^2}
则有对于x>0,恒有\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{f(tx)}{f(t)}=1
而且f(t)在(0,t)上是局部有界的,但是我们有
g(t)=\ ...

未定式还是可以比较的, 请看下面的论述:

由于f(x)>0, 所以 是单调上升函数. 不妨设x>1, (否则可以考虑). 当x>1时,明显

任给t 与固定的x>1, 设g(tx)=f(T). 如果T<t, 那么 g(tx)=g(t),

如果 T=t*p,对某个 , 那么由于, 有

以及两边夹定理, 知道

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We_must_know. We_will_know.
3楼2014-11-15 03:11:41
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2014-11-15 03:11:41
未定式还是可以比较的, 请看下面的论述:

由于f(x)>0, 所以 g(t)=sup_{0<x<t} f(x)是单调上升函数. 不妨设x>1, (否则可以考虑\frac{g(\frac{1}{x}t)}{g(t)}.). 当x>1时,明显\frac{g(xt)}{g(t)}\g ...

T=tx怎么会小于t,不是假定x>1吗?
青葱岁月圣诞夜,浪漫歌舞迎新年。
4楼2014-11-15 03:19:00
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2014-11-15 03:11:41
未定式还是可以比较的, 请看下面的论述:

由于f(x)>0, 所以 g(t)=sup_{0<x<t} f(x)是单调上升函数. 不妨设x>1, (否则可以考虑\frac{g(\frac{1}{x}t)}{g(t)}.). 当x>1时,明显\frac{g(xt)}{g(t)}\g ...

g(tx)=f(T)?上确界一定可达吗?
青葱岁月圣诞夜,浪漫歌舞迎新年。
5楼2014-11-15 03:23:42
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

引用回帖:
5楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-11-15 03:23:42
g(tx)=f(T)?上确界一定可达吗?...

你说的非常有道理.看来我的证明只对f(x)为上连续函数成立,

一般情形, 因为已经有了你的反例, 命题不成立.
We_must_know. We_will_know.
6楼2014-11-15 03:40:19
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zzrqyr

银虫 (小有名气)

送红花一朵
引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2014-11-15 03:11:41
未定式还是可以比较的, 请看下面的论述:

由于f(x)>0, 所以 g(t)=sup_{0<x<t} f(x)是单调上升函数. 不妨设x>1, (否则可以考虑\frac{g(\frac{1}{x}t)}{g(t)}.). 当x>1时,明显\frac{g(xt)}{g(t)}\g ...

谢谢你的耐心解答
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7楼2014-11-15 18:46:08
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zzrqyr

银虫 (小有名气)

送红花一朵
引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-11-15 03:03:59
看看下面一个具体的例子:
f:\mathbb{R^+}\to\mathbb{R^+}\quad f(x)=1+\frac{1}{x^2}
则有对于x>0,恒有\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{f(tx)}{f(t)}=1
而且f(t)在(0,t)上是局部有界的,但是我们有
g(t)=\ ...

谢谢你的耐心解答
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8楼2014-11-15 18:46:47
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zzrqyr

银虫 (小有名气)

引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2014-11-15 03:11:41
未定式还是可以比较的, 请看下面的论述:

由于f(x)>0, 所以 g(t)=sup_{0<x<t} f(x)是单调上升函数. 不妨设x>1, (否则可以考虑\frac{g(\frac{1}{x}t)}{g(t)}.). 当x>1时,明显\frac{g(xt)}{g(t)}\g ...

你好,这步,如果T<t, 那么 g(tx)=g(t),你是怎么得到的,谢谢指教!
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9楼2014-11-15 19:54:55
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